역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 10번

CLP-1 · 2.12절 · 10번대학 수준우리말 번역

$f(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ 을 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역을 구하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ . What is the domain of $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

곱의 미분법과 연쇄 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right\}&= \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+ \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arcsin x \end{aligned}$

$\arcsin x$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이고, $\sqrt{1-x^2}$ 의 정의역은 $1-x^2 \geq 0$ 을 만족하는 모든 $x$ , 즉 $[-1,1]$ 에 속하는 $x$ 이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the product and chain rules.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right\}&= \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+ \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arcsin x \end{aligned}$

The domain of $\arcsin x$ is $[-1,1]$ , and the domain of $\sqrt{1-x^2}$ is all values of $x$ so that $1-x^2 \geq 0$ , so $x$ in $[-1,1]$ . Therefore, the domain of $f(x)$ is $[-1,1]$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 11번우리말 번역

$y=\arctan (x^2)$ 의 접선이 수평이 되는 $x$ 의 값을 모두 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan(x^2)\}&=\frac{2x}{1+x^4} \end{aligned}$

이 값이 0이 되는 것은 $x=0$ 일 때뿐이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류