역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 9번

CLP-1 · 2.12절 · 9번대학 수준우리말 번역

$a$ 가 0이 아닌 상수일 때, $f(x)=\dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$ 를 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역을 구하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$ , where $a$ is a nonzero constant. What is the domain of $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$a$ 가 상수임에 유의하여 연쇄 법칙을 이용한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)\right\}&= \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}\cdot \frac{1}{a}\\ &=\frac{1}{a^2+x^2} \end{aligned}$

아크탄젠트의 정의역은 모든 실수이므로 $f(x)$ 의 정의역도 모든 실수이다.

원본 교재 풀이(영어)

We use the chain rule, remembering that $a$ is a constant.

The domain of arctangent is all real numbers, so the domain of $f(x)$ is also all real numbers.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 8번우리말 번역

$f(x)=\mathop{\mathrm{arcsec}}(-x^2-2)$ 를 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역은 무엇인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\mathop{\mathrm{arcsec}} x$ 의 정의역은 $|x| \geq 1$ 이다. 즉, 아크시컨트에는 절댓값이 1 이상인 값만 대입할 수 있다. $-x^2-2 \leq -2$ 이므로 모든 실수 $x$ 에 대해 아크시컨트에 대입할 수 있는 값이 된다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

미분하기 위해 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용한다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\mathop{\mathrm{arcsec}} x\right\} = \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ 임을 기억하자.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\mathop{\mathrm{arcsec}}(-x^2-2)\right\}&= \dfrac{1}{|-x^2-2|\sqrt{(-x^2-2)^2-1}}\cdot(-2x)\\ &=\dfrac{-2x}{(x^2+2)\sqrt{x^4+4x^2+3}}. \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류