역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 15번

CLP-1 · 2.12절 · 15번대학 수준우리말 번역

$(1+x^2)\arctan x$ 의 도함수를 구하고 간단히 하세요.

영어 원문 보기

Calculate and simplify the derivative of $(1+x^2)\arctan x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

곱의 미분법을 이용하면:

$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)\arctan x\right\} &=2x\arctan x+(1+x^2)\frac{1}{1+x^2}\\ &=2x\arctan x+1\end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the product rule:

$\begin{aligned} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)\arctan x\right\} &=2x\arctan x+(1+x^2)\frac{1}{1+x^2}\\ &=2x\arctan x+1\end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 1번우리말 번역

다음 각 함수의 정의역을 구하세요. $\text{(a) } f(x)=\arcsin(\cos x)\qquad \text{(b) }g(x)=\mathop{\mathrm{arccsc}}(\cos x)\qquad \text{(c) } h(x)=\sin(\arccos x)$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 코사인 함수에는 어떤 수를 대입해도 되고, 그 값은 $[-1,1]$ 안의 수이다. $\arcsin x$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이므로, 코사인에 어떤 수를 대입하더라도 그 결과는 아크사인에 대입할 수 있는 올바른 수이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

(b) 코사인 함수에는 어떤 수를 대입해도 되고, 그 값은 $[-1,1]$ 안의 수이다. $\mathop{\mathrm{arccsc}} x$ 의 정의역은 $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ 이므로, 아크코시컨트에 대입할 수 있는 올바른 수가 되려면 $\cos x = \pm 1$ 이어야 한다. 즉, $g(x)$ 의 정의역은 어떤 정수 $n$ 에 대하여 $x=n\pi$ 인 모든 값이다.

(c) 아크코사인의 정의역은 $[-1,1]$ 이다. 사인 함수의 정의역은 모든 실수이므로, 아크코사인이 어떤 수를 내놓더라도 그 수를 사인에 안전하게 대입할 수 있다. 따라서 $h(x)$ 의 정의역은 $[-1,1]$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류