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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

역삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.12절 · 17번대학 수준우리말 번역

ddx{cot⁡(arcsin⁡(x))}=−1x21−x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\cot\left(\arcsin(x) \right)\right\} = \dfrac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}} 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that ddx{cot⁡(arcsin⁡(x))}=−1x21−x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\cot\left(\arcsin(x) \right)\right\} = \dfrac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}}.

정답·풀이 보기

θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x 라 하자. 그러면 θ\theta 는 sin⁡θ=x\sin \theta = x 를 만족하는 직각삼각형의 한 각이다. 특히 빗변에 대한 반대쪽 변의 길이의 비가 xx 이다. 따라서 다음과 같은 삼각형을 얻는다:

그림

여기서 이웃한 변의 길이는 피타고라스 정리로부터 얻은 것이다. 이제, cot⁡(arcsin⁡x)=cot⁡θ=adjopp=1−x2x\cot\left(\arcsin x\right) = \cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} 여기서부터 몫의 미분법을 이용하여 미분한다:

ddx{1−x2x}=x−2x21−x2−1−x2x2=−x2−(1−x2)x21−x2=−1x21−x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right\}&= \frac{x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\\ &=\frac{-x^2-(1-x^2)}{x^2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

참고: 다른 방법으로는 먼저 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하여 미분한 다음, 삼각형을 그려 얻어진 식을 간단히 할 수 있다. ddx{cot⁡(arcsin⁡x)}=−csc⁡2(arcsin⁡x)1−x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\cot\left(\arcsin x\right)\right\}=\frac{-\csc^2(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}.

원본 교재 풀이(영어)

Let θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x. Then θ\theta is the angle of a right triangle that gives sin⁡θ=x\sin \theta = x. In particular, the ratio of the opposite side to the hypotenuse is xx. So, we have a triangle that looks like this:

figure

where the length of the adjacent side came from the Pythagorean Theorem. Now, cot⁡(arcsin⁡x)=cot⁡θ=adjopp=1−x2x\cot\left(\arcsin x\right) = \cot \theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} From here, we differentiate using the quotient rule:

ddx{1−x2x}=x−2x21−x2−1−x2x2=−x2−(1−x2)x21−x2=−1x21−x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right\}&= \frac{x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}\\ &=\frac{-x^2-(1-x^2)}{x^2\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{-1}{x^2\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}

Remark: another strategy is to differentiate first, using the chain rule, then draw a triangle to simplify the resulting expression ddx{cot⁡(arcsin⁡x)}=−csc⁡2(arcsin⁡x)1−x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\cot\left(\arcsin x\right)\right\}=\frac{-\csc^2(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 7번우리말 번역

f(t)=arccos⁡tt2−1f(t)=\dfrac{\arccos t}{t^2-1} 를 미분하세요. f(t)f(t) 의 정의역은 무엇인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

몫의 미분법을 이용하면,

ddt{arccos⁡tt2−1}=(t2−1)(−11−t2)−(arccos⁡t)(2t)(t2−1)2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{\dfrac{\arccos t}{t^2-1}\right\}&= \frac{(t^2-1)\left(\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}\right)-(\arccos t)(2t)}{(t^2-1)^2} \end{aligned}

아크코사인의 정의역은 [−1,1][-1,1] 이고, t2−1t^2-1 이 분모에 있으므로 ff 의 정의역은 t2−1≠0t^2-1 \neq 0, 즉 t≠±1t \neq \pm 1 이어야 한다. 따라서 f(t)f(t) 의 정의역은 (−1,1)(-1,1) 이다.

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