역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 18번

CLP-1 · 2.12절 · 18번대학 수준우리말 번역

곡선 $y=\arcsin x$ 위의 점 중에서 접선이 직선 $y=2x+9$ 와 평행한 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Determine all points on the curve $y=\arcsin x$ where the tangent line is parallel to the line $y=2x+9$ .

정답·풀이 보기

직선 $y=2x+9$ 의 기울기는 $2$ 이므로, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arcsin x\}=2$ 를 만족하는 $-1$ 과 $1$ 사이의 모든 $x$ 의 값을 구해야 한다( $\arcsin x$ 는 이 범위의 $x$ 에 대해서만 정의된다). 도함수를 계산하면:

$\begin{aligned} y&=\arcsin x\\ 2=y'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ 4&=\frac{1}{1-x^2}\\ \frac{1}{4}&=1-x^2\\ x^2&=\frac{3}{4}\\ x&=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\\ (x,y)&=\pm\big(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\pi}{3}\big) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The line $y=2x+9$ has slope $2$ , so we must find all values of $x$ between $-1$ and $1$ ( $\arcsin x$ is only defined for these values of $x$ ) for which $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arcsin x\}=2$ . Evaluating the derivative:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 19번우리말 번역

함수 $f(x)=\arctan(\csc x)$ 의 접선이 수평이 되는 $x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하여 미분한다:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan(\csc x)\}&=\frac{1}{1+\csc^2x}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\csc x\}\\ &=\frac{-\csc x \cot x}{1+\csc^2x}\\ &=\frac{-\frac{1}{\sin x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{1+\left(\frac{1}{\sin x}\right)^2}\\ &=\frac{-\cos x}{\sin^2x+1} \end{aligned}$

따라서 $f'(x)=0$ 이면 $\cos x=0$ 이고, 이는 임의의 정수 $n$ 에 대해 $x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ 일 때 성립한다. 이 점들이 $f$ 의 정의역에 속하는지 확인해야 한다. 아크탄젠트는 모든 실수에서 정의되므로 코시컨트의 정의역만 확인하면 된다. $x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ 일 때 $\sin x=\pm1 \neq 0$ 이므로 $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ 가 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류