역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 19번

CLP-1 · 2.12절 · 19번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x)=\arctan(\csc x)$ 의 접선이 수평이 되는 $x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For which values of $x$ does the function $f(x)=\arctan(\csc x)$ have a horizontal tangent line?

정답·풀이 보기

연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 이용하여 미분한다:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan(\csc x)\}&=\frac{1}{1+\csc^2x}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\csc x\}\\ &=\frac{-\csc x \cot x}{1+\csc^2x}\\ &=\frac{-\frac{1}{\sin x}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{1+\left(\frac{1}{\sin x}\right)^2}\\ &=\frac{-\cos x}{\sin^2x+1} \end{aligned}$

따라서 $f'(x)=0$ 이면 $\cos x=0$ 이고, 이는 임의의 정수 $n$ 에 대해 $x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ 일 때 성립한다. 이 점들이 $f$ 의 정의역에 속하는지 확인해야 한다. 아크탄젠트는 모든 실수에서 정의되므로 코시컨트의 정의역만 확인하면 된다. $x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ 일 때 $\sin x=\pm1 \neq 0$ 이므로 $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate using the chain rule:

So if $f'(x)=0$ , then $\cos x=0$ , and this happens when $x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ for any integer $n$ . We should check that these points are in the domain of $f$ . Arctangent is defined for all real numbers, so we only need to check the domain of cosecant; when $x=\dfrac{(2n+1)\pi}{2}$ , then $\sin x=\pm1 \neq 0$ , so $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ exists.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 9번우리말 번역

$a$ 가 0이 아닌 상수일 때, $f(x)=\dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$ 를 미분하세요. $f(x)$ 의 정의역을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$a$ 가 상수임에 유의하여 연쇄 법칙을 이용한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)\right\}&= \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}\cdot \frac{1}{a}\\ &=\frac{1}{a^2+x^2} \end{aligned}$

아크탄젠트의 정의역은 모든 실수이므로 $f(x)$ 의 정의역도 모든 실수이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산보통자동 분류