역삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.12절 · 22번

CLP-1 · 2.12절 · 22번대학 수준우리말 번역

$f(x) = e^x+x$ 는 일대일함수이다. $\big(f^{-1}\big)'(e+1)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x) = e^x+x$ is one–to–one. Find $\big(f^{-1}\big)'(e+1)$ .

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$g(y)=f^{-1}(y)$ 라 하자. 그러면 $g(f(x))=x$ 이므로 양변을 (연쇄 법칙을 이용하여) 미분하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} g'(f(x))f'(x)&=1 \\ \text{우리가 구하려는 것은 $g'(e+1)$ 이므로 $f(x)=e+1$ 을 만족하는 $x$ 의 값을 알아내야 한다. 약간의 시행착오를 거치면 $x=1$ 임을 알 수 있다.} \\ g'(f(1))f'(1)&=1\\ g'(e+1)\cdot f'(1)&=1\\ g'(e+1) &= \frac{1}{f'(1)} \\ \text{마지막으로 $f'(x)=e^x+1$ 이므로 $f'(1)=e+1$ 임에 주목하면 된다.} \\ g'(e+1)&=\frac{1}{e+1} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Write $g(y)=f^{-1}(y)$ . Then $g(f(x))=x$ , so differentiating both sides (using the chain rule), we see

$\begin{aligned} g'(f(x))f'(x)&=1 \\ \text{What we want is $g'(e+1)$, so we need to figure out which value of $x$ gives $f(x)=e+1$. A little trial and error leads us to $x=1$.} \\ g'(f(1))f'(1)&=1\\ g'(e+1)\cdot f'(1)&=1\\ g'(e+1) &= \frac{1}{f'(1)} \\ \text{It remains only to note that $f'(x)=e^x+1$, so $f'(1)=e+1$} \\ g'(e+1)&=\frac{1}{e+1} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( (x-1)^{-1}\left(\arctan x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ 의 값을 구하세요.

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이 극한은 함수 $f(x)=\arctan x$ 의 $x=1$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이는 $a=1$ 에서의 미분계수의 정의를 이용하면 바로 알 수 있다:

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}\right|_{1} &=\lim_{x\to1} \frac{\arctan x-\arctan 1}{x-1}\\ &=\lim_{x\to1} \frac{\arctan x-\frac{\pi}{4}}{x-1}\\ &=\displaystyle \lim_{x\to 1}\left( (x-1)^{-1}\left(\arctan x - \frac{\pi}{4}\right)\right). \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 이므로, $x=1$ 에서의 값은 정확히 $\dfrac{1}{2}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수의 미분계산도전자동 분류