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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

역삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.12절 · 27번대학 수준우리말 번역

f−1(4x−1)=2x+3x+1f^{-1}(4x-1)=\dfrac{2x+3}{x+1} 이라 하자. f(0)f(0) 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose f−1(4x−1)=2x+3x+1f^{-1}(4x-1)=\dfrac{2x+3}{x+1}. Evaluate f(0)f(0).

정답·풀이 보기

f−1(y)=0f^{-1}(y)=0 이면 f(0)=yf(0)=y 라는 뜻이다. 따라서 f−1f^{-1} 에 무엇을 넣어야 0이 되는지 알아내면 된다. f−1f^{-1} 을 변수 xx 에 관한 식으로만 알고 있으므로, 출력이 0이 되게 하는 xx 의 값을 구해 보자:

2x+3x+1=02x+3=0x=−32이제, 등식 f−1(4x−1)=2x+3x+1 에 x=−32 를 대입하면 다음을 얻는다:f−1(4⋅−32−1)=2⋅−32+3−32+1이를 정리하면:f−1(−7)=0\begin{aligned} \frac{2x+3}{x+1}&=0\\ 2x+3&=0\\ x&=-\frac{3}{2} \\ \text{이제, 등식 $f^{-1}(4x-1)=\dfrac{2x+3}{x+1}$ 에 $x=\dfrac{-3}{2}$ 를 대입하면 다음을 얻는다:} \\ f^{-1}\left(4\cdot\frac{-3}{2}-1\right)&=\frac{2\cdot\frac{-3}{2}+3}{\frac{-3}{2}+1} \\ \text{이를 정리하면:} \\ f^{-1}(-7)&=0 \end{aligned}

따라서 f(0)=−7f(0)=-7 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If f−1(y)=0f^{-1}(y)=0, that means f(0)=yf(0)=y. So, we want to find out what we plug into f−1f^{-1} to get 0. Since we only know f−1f^{-1} in terms of a variable xx, let's figure out what xx gives us an output of 0:

2x+3x+1=02x+3=0x=−32Now, the equation f−1(4x−1)=2x+3x+1 with x=−32 tells us:f−1(4⋅−32−1)=2⋅−32+3−32+1Or, equivalently:f−1(−7)=0\begin{aligned} \frac{2x+3}{x+1}&=0\\ 2x+3&=0\\ x&=-\frac{3}{2} \\ \text{Now, the equation $f^{-1}(4x-1)=\dfrac{2x+3}{x+1}$ with $x=\dfrac{-3}{2}$ tells us:} \\ f^{-1}\left(4\cdot\frac{-3}{2}-1\right)&=\frac{2\cdot\frac{-3}{2}+3}{\frac{-3}{2}+1} \\ \text{Or, equivalently:} \\ f^{-1}(-7)&=0 \end{aligned}

Therefore, f(0)=−7f(0)=-7.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.12절 · 26번우리말 번역

f(2x+1)=5x−93x+7f(2x+1)=\dfrac{5x-9}{3x+7} 이라고 하자. f−1(7)f^{-1}(7) 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 주어진 정보를 해석해 보자. 함수의 입력이 어떤 xx 에 대해 2x+12x+1 이면, 그 출력은 같은 xx 에 대해 5x−93x+7\dfrac{5x-9}{3x+7} 이다. 우리가 값을 구해야 하는 f−1(7)f^{-1}(7) 은 f(y)=7f(y)=7 을 만족하는 수 yy 이다. 함수의 출력이 7이라는 것은 다음을 뜻한다.

7=5x−93x+7그러므로7(3x+7)=5x−9x=−298따라서 x=−298 일 때, 식 f(2x+1)=5x−93x+7 은 다음과 같이 된다:f(2⋅−298+1)=5⋅−298−93⋅−298+7또는, 다시 말해:f(−254)=7\begin{aligned} 7&=\frac{5x-9}{3x+7} \\ \text{그러므로} \\ 7(3x+7)&=5x-9\\ x&=-\frac{29}{8} \\ \text{따라서 $x=-\dfrac{29}{8}$ 일 때, 식 $f(2x+1)=\dfrac{5x-9}{3x+7}$ 은 다음과 같이 된다:} \\ f\left(2\cdot\frac{-29}{8}+1\right)&=\dfrac{5\cdot\frac{-29}{8}-9}{3\cdot\frac{-29}{8}+7} \\ \text{또는, 다시 말해:} \\ f\left(-\frac{25}{4}\right)&=7 \end{aligned}

따라서 f−1(7)=−254f^{-1}(7)=-\dfrac{25}{4} 이다.

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