롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 7번

CLP-1 · 2.13절 · 7번우리말 번역

$f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ 이라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x^2-2\pi x+ \cos(x)-1$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=f(2\pi)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 $c$ 가 $(0,2\pi)$ 에 존재한다고 결론지을 수 있다. $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=f(2\pi)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we conclude that there exists $c$ in $(0,2\pi)$ such that $f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

$f(x)$ 는 열린구간 $0<x<10$ 에서 미분가능하다.
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

그러나 모든 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 가 모든 $x \in (0,10)$ 에서 미분가능하므로 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서 연속이기도 하다. 만약 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[0,10]$ 에서 연속이라면 평균값 정리에 의해 어떤 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ 이 보장된다. 그러나 이 경우는 그렇지 않다. 따라서 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서는 연속이지만, 모든 $x \in [0,10]$ 에서는 연속이 아니어야 한다.

$c \in (0,10)$ 에서 $f'(c)=0$ 이므로 $f$ 는 그 구간에서 상수함수이다. 따라서 $f(x)$ 는 다음과 같은 함수이다.

여기서 상수함수의 높이는 어떤 값이어도 된다.

따라서 가능한 답 중 하나는 $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통자동 분류