롤의 정리와 평균값 정리 연습문제

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y=3x^3+2x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y=3{x}^{3}+2x+1$ over $[-1,1]$

답 쓰고 채점

점

풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 $c$ 가 있다는 정리예요. 방정식 $f'(c)=\text{평균변화율}$ 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=3+2+1=6$ , $f(-1)=-3-2+1=-4$ 이므로 $\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5$ 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 $5$ 예요.
2
도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. $f'(x)=9x^2+2$ 이므로 $f'(c)=5$ 를 풀면 $9c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577$
3
구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 $-1<c<1$ 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 $c$ 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

$2$ 개 ( $c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ )

자주 하는 실수

평균값 정리의 $c$ 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번우리말 풀이

다음 문제에서 $f(1)-f(-1)=f'(c)(2)$ 를 만족하는 $c$ 가 없음을 보이세요. 구간 $[-1,1]$ 에서 평균값 정리가 적용되지 않는 이유를 설명하세요.

$f(x)=\left|x-\dfrac12\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, show there is no $c$ such that $f(1)-f(-1)={f}^{'}(c)(2).$ Explain why the Mean Value Theorem does not apply over the interval $[-1,1].$

$f(x)=|x-\frac{1}{2}|$

풀이 보기

평균값 정리는 '닫힌 구간에서 연속, 열린 구간에서 미분가능'일 때만 쓸 수 있어요. 한 곳이라도 미분이 안 되면 결론이 보장되지 않아요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=\tfrac12$ , $f(-1)=\tfrac32$ 이므로 $f(1)-f(-1)=-1\ \Rightarrow\ f'(c)\cdot 2=-1\ \Rightarrow\ f'(c)=-\tfrac12$ 이 되는 $c$ 가 있는지 보면 돼요.
2
도함수의 값을 살펴요. $x>\tfrac12$ 에서는 $f(x)=x-\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=1$ , $x<\tfrac12$ 에서는 $f(x)=-x+\tfrac12$ 이므로 $f'(x)=-1$ 이에요. 도함수가 가질 수 있는 값은 $1$ 과 $-1$ 뿐이라서 $-\tfrac12$ 은 될 수 없어요. 그러므로 조건을 만족하는 $c$ 가 없어요.
3
왜 평균값 정리가 안 되는지 말해요. $x=\tfrac12$ 은 구간 $(-1,1)$ 안에 있는데, 이곳에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 로 서로 달라 미분가능하지 않아요(그래프가 뾰족한 점). 따라서 열린 구간에서 미분가능하다는 조건이 깨져 평균값 정리를 쓸 수 없어요.

답

$f$ 는 $x=\tfrac12$ 에서 미분가능하지 않아서 평균값 정리의 조건을 만족하지 않으므로, 조건을 만족하는 $c$ 가 없다

자주 하는 실수

연속이기만 하면 평균값 정리를 쓸 수 있다고 생각하는 실수가 많아요. 열린 구간에서 미분가능해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Not differentiable

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술보통

3.OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x}$ over $[-1,1]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌 구간에서 연속인지 확인해요.

1
조건을 떠올려요. 평균값 정리는 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능한 함수에만 쓸 수 있어요. 그래서 연속인지 먼저 점검해요.
2
연속인지 살펴요. 분모가 $0$ 이 되는 $x=0$ 에서 함수가 정의되지 않아요. $x=0$ 은 구간 $[-1,1]$ 안에 있으므로 이 함수는 $x=0$ 에서 불연속이에요. (분자 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ 는 $x=0$ 에서 $2$ 라서 약분되지도 않아요. $x\to 0$ 이면 값이 무한히 커져요.)
3
결론을 내려요. 구간 안에 불연속인 점이 있으므로 연속 조건이 깨져서 평균값 정리를 적용할 수 없어요.

답

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자주 하는 실수

끝점 $\pm1$ 에서만 연속 여부를 확인하고 구간 안쪽의 불연속점을 놓치는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply; discontinuous at $x=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인보통

4.OpenStax 1권 · 4.4절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 구간 $[a,b]$ 에서의 함수의 그래프와 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선을 그리세요. 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 계산기로 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 아니면 최종 방정식을 쓰고 계산기로 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-4,0]$ 에서 $y=\left|x^2+2x-4\right|$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=|{x}^{2}+2x-4|$ over $[-4,0]$

풀이 보기

평균값 정리를 쓰기 전에 연속·미분가능 조건부터 확인해요. 절댓값이 있으면 안쪽 식이 0이 되는 곳에서 그래프가 꺾일 수 있어요.

1
안쪽 식이 0이 되는 곳을 찾아요. $x^2+2x-4=0$ 을 풀면 $x=-1\pm\sqrt5$ , 즉 $x\approx-3.236$ 과 $x\approx1.236$ 이에요. 이 중 $x=-1-\sqrt5\approx-3.236$ 이 구간 $[-4,0]$ 안에 있어요.
2
그곳에서 미분가능한지 봐요. 이 점의 왼쪽에서는 안쪽 식이 양수이고 오른쪽에서는 음수예요. 그래서 $f(x)=|g(x)|$ 의 기울기가 왼쪽에서는 $g'(x)=2x+2\approx-4.47$ , 오른쪽에서는 $-g'(x)\approx+4.47$ 이 되어 서로 달라요. 그래프가 뾰족하게 꺾이는 점이라 이 점에서 미분가능하지 않아요.
3
결론을 내려요. 열린 구간 $(-4,0)$ 안에 미분불가능한 점이 있으므로 평균값 정리의 조건을 만족하지 않아요. 따라서 평균값 정리는 적용되지 않아요.
4
참고로 확인해 봐요. $f(-4)=4$ , $f(0)=4$ 이므로 평균변화율은 $0$ 이에요. 실제로 $-3.236<x<1.236$ 에서 $f(x)=-(x^2+2x-4)$ 이므로 $f'(-1)=0$ 인 $c=-1$ 이 있긴 해요. 하지만 이것은 정리가 보장해 준 것이 아니라 우연히 성립하는 것이에요.

답

평균값 정리를 적용할 수 없다 ( $x=-1-\sqrt5$ 에서 미분불가능)

자주 하는 실수

결론이 우연히 성립해도 평균값 정리가 적용된다고 말하면 안 돼요. 조건을 만족하는지가 핵심이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The Mean Value Theorem does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번

# 롤의 정리와 평균값 정리개념 확인도전

5.OpenStax 1권 · 4.4절 · 1번우리말 번역

평균값 정리를 적용하려면 왜 연속성이 필요한지 설명하세요. 반례를 만드세요.

영어 원문 보기

Why do you need continuity to apply the Mean Value Theorem? Construct a counterexample.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번우리말 번역

평균값 정리를 적용하려면 왜 미분가능성이 필요한지 설명하세요. 반례를 찾으세요.

영어 원문 보기

Why do you need differentiability to apply the Mean Value Theorem? Find a counterexample.

정답·풀이 보기

한 가지 예는 $f(x)=|x|+3,\,-2\le x\le 2$ 이다

원본 교재 풀이(영어)

One example is $f(x)=|x|+3,\,-2\le x\le 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.4절 · 3번우리말 번역

롤의 정리와 평균값 정리는 언제 서로 동치인가요?

영어 원문 보기

When are Rolle’s theorem and the Mean Value Theorem equivalent?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 4번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.4절 · 4번우리말 번역

불연속인 함수가 있을 때에도 ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)?$ 를 만족하는 $c$ 가 존재하는 것이 여전히 가능한가요? 그런 예를 그리거나 불가능한 이유를 증명하세요.

영어 원문 보기

If you have a function with a discontinuity, is it still possible to have ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)?$ Draw such an example or prove why not.

정답·풀이 보기

예, 그러나 평균값 정리는 여전히 적용되지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

Yes, but the Mean Value Theorem still does not apply

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.4절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\sin (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sin (\pi x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

10.OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 (있다면) 어느 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\frac{1}{{x}^{3}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\frac{1}{{x}^{3}}$

정답·풀이 보기

$(-\infty ,0) \text{또는} (0,\infty )$ 안에 있는 모든 닫힌구간

원본 교재 풀이(영어)

Any closed interval in $(-\infty ,0) \text{or} (0,\infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 22번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

11.OpenStax 1권 · 4.4절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

12.OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 (있다면) 어디인지 판단하세요. 답의 근거를 밝히세요.

$y=\sqrt{{x}^{2}-4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\sqrt{{x}^{2}-4}$

정답·풀이 보기

$(-\infty ,-2) \text{또는} (2,\infty )$ 에 포함되는 모든 닫힌구간

원본 교재 풀이(영어)

Any closed interval in $(-\infty ,-2) \text{or} (2,\infty )$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

13.OpenStax 1권 · 4.4절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 평균값 정리가 적용되는 구간이 있다면 어떤 구간인지 구하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\ln (3x-5)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine over what intervals (if any) the Mean Value Theorem applies. Justify your answer.

$y=\ln (3x-5)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 14번

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 4.4절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기로 함수의 그래프를 그리고 양 끝점을 잇는 할선을 그리세요. ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$ 에서 $y=\tan \left(\frac{\pi }{4}x\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y=\tan \left(\frac{\pi }{4}x\right)$ over $\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 1권 · 4.4절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기로 함수의 그래프를 그리고 양 끝점을 잇는 할선을 그리세요. ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-2,2]$ 에서 $y={x}^{2}\cos (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y={x}^{2}\cos (\pi x)$ over $[-2,2]$

답 쓰고 채점

점

정답·풀이 보기

점 5개

원본 교재 풀이(영어)

5 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 14번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 1권 · 4.4절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기로 함수의 그래프를 그리고 양 끝점을 잇는 할선을 그리세요. ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y={x}^{6}-\frac{3}{4}{x}^{5}-\frac{9}{8}{x}^{4}+\frac{15}{16}{x}^{3}+\frac{3}{32}{x}^{2}+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$