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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

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CLP-1 · 2.13절 · 8번우리말 번역

f(x)=ex+(1−e)x2−1f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1 이라 하자. f′(c)=0f'(c)=0 인 실수 cc 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=ex+(1−e)x2−1f(x)=e^x + (1-e)x^2 - 1. Show that there exists a real number cc such that f′(c)=0f'(c)=0.

정답·풀이 보기

f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 c∈(0,1)c\in (0,1) 이 존재함을 얻는다. f′(c)=f(1)−f(0)1−0=0.f'(c)=\frac{f(1)- f(0)}{1 - 0} = 0.

원본 교재 풀이(영어)

We note that f(0)=f(1)=0f(0)=f(1)=0. Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we get that there exists c∈(0,1)c\in (0,1) such that f′(c)=f(1)−f(0)1−0=0.f'(c)=\frac{f(1)- f(0)}{1 - 0} = 0.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 9번우리말 번역

f(x)=3+sin⁡(x)+(x−π)2f(x)=\sqrt{3 + \sin(x)} + (x - \pi)^2 이라 하자. f′(c)=0f'(c)=0 인 실수 cc 가 존재함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

f(0)=f(2π)=3+π2f(0)=f(2\pi)=\sqrt{3} + \pi^2 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(3+sin⁡x>03+\sin x>0 이므로 이 함수는 모든 실수에서 미분가능하다) 다음을 만족하는 c∈(0,2π)c\in (0,2\pi) 가 존재함을 얻는다. f′(c)=f(2π)−f(0)2π−0=0.f'(c)=\frac{f(2\pi)- f(0)}{2\pi - 0} = 0.

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