롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 10번

CLP-1 · 2.13절 · 10번우리말 번역

$f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ 라 하자. $f'(c)=0$ 인 실수 $c$ 가 존재함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=x\cos(x) - x\sin(x)$ . Show that there exists a real number $c$ such that $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(0)=0$ 이고 $f(\pi/4)=0$ 임에 주목한다. 그러면 평균값 정리를 이용하여(이 함수는 모든 실수에서 미분가능함에 유의한다) $c\in (0,\pi/4)$ 이고 $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$ 인 $c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

We note that $f(0)=0$ and $f(\pi/4)=0$ . Then using the Mean Value Theorem (note that the function is differentiable for all real numbers), we get that there exists $c\in (0,\pi/4)$ such that $f'(c)=\frac{f(\pi/4)- f(0)}{\pi/4 - 0} = 0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.4절 · 30번

다음 문제에서 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하고, 이유를 쓰세요.

$y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}$ , 구간 $[-1,1]$

다 풀었으면 정답 확인

적용할 수 없다 ( $x=0$ 에서 불연속)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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