롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 13번

CLP-1 · 2.13절 · 13번우리말 번역

함수 $f(x)=x^3+\sin\left(x^5\right)$ 의 근은 몇 개인지 구하세요.

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How many roots does the function $f(x)=x^3+\sin\left(x^5\right)$ have?

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살펴보면 $f(0)=0$ 임을 알 수 있으므로 근이 적어도 하나는 있다. 다른 근이 있는지, 있다면 몇 개인지 판단해야 한다.
함수 $f(x)$ 는 두 항 $x^3$ 과 $\sin(x^5)$ 의 합이다. 어떤 수 $x$ 가 $f(x)$ 의 근이 되는 것은 그 $x$ 의 값에서 두 항이 서로 정확히 상쇄될 때, 그리고 그때에 한한다. 즉, $x$ 가 $f$ 의 근일 필요충분조건은 $x^3=-\sin(x^5)$ 이다. 다른 근을 찾기 위한 감을 얻도록, 같은 그림에 $y=x^3$ 과 $y=-\sin(x^5)$ 의 그래프를 그린다. 그러면 $f(x)$ 의 근은 정확히 두 곡선 $y=x^3$ 과 $y= -\sin(x^5)$ 가 만나는 점의 $x$ 값이다.

그래프를 보면 두 곡선은 $|x|>1$ 인 점에서는 결코 만날 수 없다. $|x|>1$ 이면 $|x^3|>1$ 이지만 $|-\sin (x^5)|\le 1$ 이므로 $x^3=-\sin(x^5)$ 일 수 없기 때문이다. 즉, $f(x)$ 의 모든 근은 구간 $[-1,1]$ 에 있다.
그래프로 보아 $y=x^3$ 과 $y=-\sin(x^5)$ 는 $x=0$ 에서만 만난다고 짐작할 수 있다. 롤의 정리를 이용하여 실제로 그러함을 확인할 수 있다.
$a \neq 0$ 인 근이 있다고 하면, 롤의 정리에 의해 ( $f(x)$ 는 모든 실수 $x$ 에 대해 연속이고 미분가능하므로) $0$ 과 $a$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다. 특히, 근 $a$ 가 있다면 $-1$ 과 $1$ 사이에 있음을 이미 알고 있으므로, $f(x)$ 가 근을 두 개 가지면 어떤 $c \in (-1,0) \cup (0,1)$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다.
$f$ 의 도함수는

$f'(x)=3x^2+5x^4\cos\big(x^5\big)=x^2\left(3+5x^2\cos\big(x^5\big)\right)$

이다. 따라서 $f'(x)=0$ 이면 $x=0$ 또는 $\left(3+5x^2\cos\left(x^5\right)\right)=0$ 이다. $x \in (-1,0) \cup (0,1)$ 이면

$\begin{aligned} |x|<1 &\implies |x^5|<1<\tfrac{\pi}{2} \implies \cos\big(x^5\big)>0 \\ &\implies 3+5x^2\cos\big(x^5\big) > 3 \\ &\implies f'(x) \neq 0 \end{aligned}$

이다. 즉, $f'(c)=0$ 인 $c \in (-1,0) \cup (0,1)$ 은 없다. 그러므로 바로 앞의 항목에 따라 $f(x)$ 의 근은 하나뿐이다.

여기서 $f'(x)$ 는 영점이 많음에 주목하자. 사실은 무수히 많다. 그러나 구간 $(-1,1)$ 에서 $f'(x)$ 의 근은 $x=0$ 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

We can see by inspection that $f(0)=0$ , so there is at least one root. We have to determine how many any other roots there are, if any.
The function $f(x)$ is the sum of the two terms $x^3$ and $\sin(x^5)$ . A number $x$ is a root of $f(x)$ if and only if the two terms cancel each other exactly for that value of $x$ . That is, $x$ is a root of $f$ if and only if $x^3=-\sin(x^5)$ . To develope some intuition in our hunt for other roots, we sketch, in the same figure, the graphs $y=x^3$ and $y=-\sin(x^5)$ . Then the roots of $f(x)$ are precisely the $x$ 's where the two curves $y=x^3$ and $y= -\sin(x^5)$ intersect.

Looking at the sketch, we see that the two curves cannot possibly intersect at any point having $|x|>1$ — if $|x|>1$ , then $|x^3|>1$ but $|-\sin (x^5)|\le 1$ and we cannot possibly have $x^3=-\sin(x^5)$ . That is, all roots of $f(x)$ are in the interval $[-1,1]$ .
From the sketch, we would probably guess that $y=x^3$ and $y=-\sin(x^5)$ cross only at $x=0$ . We can use Rolle's Theorem to verify that that is indeed the case.
If there is a root $a \neq 0$ , then by Rolle's Theorem (since $f(x)$ is continuous and differentiable for all real numbers $x$ ) $f'(c)=0$ for some $c$ strictly between $0$ and $a$ . In particular, since we already know any roots $a$ will be between $-1$ and $1$ , if $f(x)$ has two roots then $f'(c)=0$ for some $c \in (-1,0) \cup (0,1)$ .
The derivative of $f$ is

$f'(x)=3x^2+5x^4\cos\big(x^5\big)=x^2\left(3+5x^2\cos\big(x^5\big)\right)$

So, if $f'(x)=0$ , then $x=0$ or $\left(3+5x^2\cos\left(x^5\right)\right)=0$ . If $x \in (-1,0) \cup (0,1)$ , then

$\begin{aligned} |x|<1 &\implies |x^5|<1<\tfrac{\pi}{2} \implies \cos\big(x^5\big)>0 \\ &\implies 3+5x^2\cos\big(x^5\big) > 3 \\ &\implies f'(x) \neq 0 \end{aligned}$

That is, there is no $c \in (-1,0) \cup (0,1)$ with $f'(c)=0$ . Therefore, following our last bullet point, $f(x)$ has only one root.

Note here that $f'(x)$ has many zeroes — infinitely many, in fact. However, $x=0$ is the only root of $f'(x)$ in the interval $(-1,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 12번우리말 번역

함수 $f(x)=\dfrac{(4x+1)^4}{16}+x$ 의 근은 몇 개인가요?

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다 풀었으면 정답 확인

함수 $f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하다. $a$ 와 $b$ 가 $f(x)$ 의 서로 다른 근이면, $a$ 와 $b$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다(롤의 정리). 그러므로 $f'(x)$ 를 생각해 보자. $f'(x)=(4x+1)^3+1$ 이 식은 간단하여 영점을 직접 구할 수 있다. $(4x+1)^3 +1= 0 \quad \Leftrightarrow \quad (4x+1)^3 = -1 \quad \Leftrightarrow \quad 4x+1 = -1 \quad \Leftrightarrow \quad 4x=-2$ 따라서 $f'(c)=0$ 인 것은 $c=\dfrac{-1}{2}$ 일 때뿐이다. 도함수의 영점이 하나뿐이라는 사실은 매우 유용하다. 이는 (롤의 정리에 의해) $f(x)$ 가 서로 다른 근 $a$ , $b$ ( $a<b$ )를 가지면 반드시 $a < \dfrac{-1}{2} < b$ 여야 함을 뜻한다. 또한 이는 $f(x)$ 가 $a<b<q$ 인 서로 다른 세 근 $a,b$ 와 (예를 들어) $q$ 를 가질 수 없음을 뜻한다. 그렇게 되면 롤의 정리에 의해 $f'(x)$ 가 $a$ 와 $b$ 사이에 하나, $b$ 와 $q$ 사이에 또 하나, 모두 두 개의 영점을 갖게 되기 때문이다.

지금까지 $f(x)$ 는 근이 많아야 두 개이며, 근이 두 개 있다면 그 근들이 어디에 있을 수 있는지를 알았다. 그러나 이것만으로는 $f(x)$ 의 근이 0개, 1개, 2개 중 무엇인지 알 수 없다.

$f(x)$ 의 근을 눈으로 어림해서 찾기는 쉽지 않다. 하지만 $f(x)$ 와 $f'(x)$ 의 다음 성질을 이용하면 $y=f(x)$ 의 그래프를 충분히 파악하여 근이 정확히 몇 개인지 알 수 있다.

$x$ 가 $\pm \infty$ 로 갈 때, $f(x)$ 는 $+\infty$ 로 간다.
도함수 $f'(x)=(4x+1)^3+1$ 은 $x<-\frac{1}{2}$ 일 때 음수이고 $x>-\frac{1}{2}$ 일 때 양수이다. 즉, $f(x)$ 는 $x<-\frac{1}{2}$ 에서 감소하고 $x>-\frac{1}{2}$ 에서 증가한다.
$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}-\frac{1}{2}<0$ .

따라서 이 함수는 다음 그래프와 비슷한 모양이어야 한다.

다만 $x$ 절편의 위치는 아직 확실하지 않다. 현재 알고 있는 것은 하나는 $x=-1/2$ 의 왼쪽에, 다른 하나는 오른쪽에 있다는 것뿐이다.

$x$ 가 아주 작은 음수에서 아주 큰 양수로 증가할 때 $f(x)$ 가 어떻게 변하는지 살펴보자.

$x$ 가 절댓값이 큰 음수일 때, $f(x)>0$ 이다.
$x$ 가 증가하면 $f(x)$ 는 $x=-\frac{1}{2}$ 까지 연속적으로 감소하며, 그곳에서 $f(x)<0$ 이다. 특히 $f(-1)=\frac{65}{16}>0$ 이고 $f\big(-\frac{1}{2}\big)<0$ 이며 $f(x)$ 가 연속이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(x)$ 는 $-\frac{1}{2}$ 과 $-1$ 사이의 어떤 $x$ 에서 값 0을 갖는다. 더 풀어서 말하면, $x$ 가 매우 작은 음수에서 $-\frac{1}{2}$ 까지 증가하는 동안 $f(x)$ 는 0을 정확히 한 번 지난다.
$x$ 가 $-\frac{1}{2}$ 을 넘어 증가하면 $f(x)$ 는 연속적으로 증가하여, 음수에서 시작해 $x$ 가 커질 때 매우 큰 양수가 된다. 특히 $f(0)=\frac{1}{16}>0$ 이고 $f\big(-\frac{1}{2}\big)<0$ 이며 $f(x)$ 가 연속이므로, 사잇값 정리에 의해 $f(x)$ 는 $-\frac{1}{2}$ 과 $0$ 사이의 어떤 $x$ 에서 값 0을 갖는다. 따라서 $x$ 가 $-\frac{1}{2}$ 에서 $+\infty$ 가까이로 증가하는 동안 $f(x)$ 는 다시 0을 정확히 한 번 지난다.

그러므로 $f(x)$ 의 근은 정확히 두 개이며, 하나는 $x<-\frac{1}{2}$ 에, 다른 하나는 $x>-\frac{1}{2}$ 에 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통자동 분류