롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — CLP-1 · 2.13절 · 22번

CLP-1 · 2.13절 · 22번우리말 번역

$f(x)$ 가 모든 실수에서 미분가능한 함수이고 $f'(x)$ 의 근이 정확히 두 개라고 하자. $f(x)$ 가 가질 수 있는 서로 다른 근의 개수의 최댓값은 얼마인가요?

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Suppose $f(x)$ is a function that is differentiable over all real numbers, and $f'(x)$ has precisely two roots. What is the maximum number of distinct roots that $f(x)$ may have?

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$f(x)$ 가 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이기도 하다. $f(x)$ 는 서로 다른 근을 네 개 이상 가질 수 없음을 주장한다. 서로 다른 두 근 $a<b$ 마다 롤의 정리에 의해 $f'(c)=0$ 인 $c \in (a,b)$ 가 존재한다. 즉, $c$ 는 $f'$ 의 근이다. $f'$ 의 서로 다른 근이 두 개뿐이므로 $f$ 의 서로 다른 근은 많아야 세 개이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable over all real numbers, it is also continuous over all real numbers. We claim that $f(x)$ cannot have four or more distinct roots. For every two distinct roots $a<b$ , Rolle's Theorem tells us there is a $c \in (a,b)$ such that $f'(c)=0$ : that is, $c$ is a root of $f'$ . Since $f'$ has only two distinct roots, $f$ can have at most three distinct roots.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 23번우리말 번역

$f(x)=\sin x + x^2 + 5x +1$ 은 몇 개의 근을 가지는지 구하세요.

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방정식 $x^2+5x+1 = -\sin x$ 의 해의 개수를 구해야 한다. 아래 그림에는 $y=x^2+5x+1$ 과 $y=-\sin x$ 의 그래프가 있다. $x^2+5x+1 = -\sin x$ 의 해는 바로 $y=x^2+5x+1$ 과 $y=-\sin x$ 가 만나는 점의 $x$ 값이다.

그림을 보면 두 그래프는 두 번 만나는 것처럼 보인다. 함수 $-\sin x$ 의 치역이 $[-1,1]$ 이므로, 두 함수가 만난다면 $-1 \leq x^2+5x+1\leq 1$ 이기도 하다. 이차함수에서 이 부분은 그림에서 파란색으로 표시되어 있다. 파란 호의 양 끝점의 $x$ 좌표는 $x^2+5x+1 = \pm1$ 을 풀어 구한다. 즉 $x=0$ , $-5$ , 그리고 (이차방정식을 이용하면) $x= \frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$ 이다.

이제 위 그림으로 얻은 직관을 활용하여, $f(x)$ 가 근을 정확히 두 개 가짐을 보이는 간결한 논증을 쓸 수 있다. 일반적으로 함수가 $n$ 개의 근을 가짐을 보이려면, 서로 다른 $n$ 개의 근이 어딘가에 존재함을 보이고, 서로 다른 $n+1$ 개의 근은 존재하지 않음을 보여야 함을 기억하자. 이 논증은 아래 파란 글씨로 주어진다.

$f(x)$ 는 모든 실수에서 연속이다.
$f(x)=0$ 인 경우는 $-\sin x=x^2+5x+1$ 일 때뿐이고, 이는 $|x^2+5x+1| \leq 1$ 일 때만 일어난다. 따라서 $f(x)$ 의 근은 구간 $\left[-5,\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right]$ 와 $\left[\frac{-5+\sqrt{17}}{2},0\right]$ 에만 있다.
$f(-5)=\sin(-5)+1 > 0$ 이고, $f\left(\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right)=\sin\left(\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right)-1 <0$ 이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 어떤 $c \in \left(-5,\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right)$ 에 대해 $f(c)=0$ 이다.
$f(0)=1>0$ 이고, $f\left(\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\right)=\sin\left(\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\right)-1<0$ 이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 어떤 $c \in \left(\frac{-5+\sqrt{17}}{2},0\right)$ 에 대해 $f(c)=0$ 이다.
$f'(x)=\cos x + 2x + 5$ 이다. $f'(x)=0$ 이면 $2x+5=-\cos x$ 이므로 $|2x+5| \leq 1$ 이다. 따라서 $f'(x)$ 의 근을 포함할 수 있는 구간은 $[-3,-2]$ 뿐이다.
$f(x)$ 가 두 개보다 많은 근을 가진다고 가정하자. 그러면 구간 $\left[-5,\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right]$ 에 근이 두 개 있거나 또는 구간 $\left[\frac{-5+\sqrt{17}}{2},0\right]$ 에 근이 두 개 있다. $f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로, 롤의 정리에 의해 $f'(x)$ 는 $\left(-5,\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right)$ 또는 $\left(\frac{-5+\sqrt{17}}{2},0\right)$ 에서 근을 가진다. 그러나 $f'(x)$ 의 모든 근은 구간 $[-3,-2]$ 안에 있고, 이 구간은 $\left(-5,\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\right)$ 및 $\left(\frac{-5+\sqrt{17}}{2},0\right)$ 와 공통인 점이 없으므로 이는 불가능하다. 따라서 $f(x)$ 는 두 개보다 많은 근을 가지지 않는다.

$f(x)$ 는 적어도 두 개의 근을 가지고 두 개보다 많은 근은 가지지 않으므로, $f(x)$ 는 근을 정확히 두 개 가진다.

이 문제로 이어서 풀기

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