CLP-1 · 2.14절 · 7번우리말 번역단위원은 x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 을 만족하는 모든 점으로 이루어진다. d2ydx2\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}dx2d2y 을 yyy 에 대한 식으로 나타내세요. 영어 원문 보기The unit circle consists of all point x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1. Give an expression for d2ydx2\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}dx2d2y in terms of yyy. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인정답·풀이 보기음함수 미분을 두 번 사용한다. 2x+2yy′=02+(2y)y′′+(2y′)y′=0y′′=−(y′)2+1y따라서 y′ 에 대한 식이 필요하다. 식 2x+2yy′=0 으로부터 y′=−xy 임을 알 수 있다:y′′=−(−xy)2+1y=−x2y2+1y=−x2+y2y3=−1y3\begin{aligned} 2x+2yy'&=0\\ 2+(2y)y''+(2y')y'&=0\\ y''&=-\frac{(y')^2+1}{y} \\ \text{따라서 $y'$ 에 대한 식이 필요하다. 식 $2x+2yy'=0$ 으로부터 $y'=-\dfrac{x}{y}$ 임을 알 수 있다:} \\ y''&=-\frac{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}{y}\\ &=-\frac{\frac{x^2}{y^2}+1}{y}\\ &=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\\ &=-\frac{1}{y^3} \end{aligned}2x+2yy′2+(2y)y′′+(2y′)y′y′′따라서 y′ 에 대한 식이 필요하다. 식 2x+2yy′=0 으로부터 y′=−yx 임을 알 수 있다:y′′=0=0=−y(y′)2+1=−y(−yx)2+1=−yy2x2+1=−y3x2+y2=−y31 원본 교재 풀이(영어)We use implicit differentiation, twice. 2x+2yy′=02+(2y)y′′+(2y′)y′=0y′′=−(y′)2+1ySo, we need an expression for y′. We use the equation 2x+2yy′=0 to conclude y′=−xy:y′′=−(−xy)2+1y=−x2y2+1y=−x2+y2y3=−1y3\begin{aligned} 2x+2yy'&=0\\ 2+(2y)y''+(2y')y'&=0\\ y''&=-\frac{(y')^2+1}{y} \\ \text{So, we need an expression for $y'$. We use the equation $2x+2yy'=0$ to conclude $y'=-\dfrac{x}{y}$:} \\ y''&=-\frac{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}{y}\\ &=-\frac{\frac{x^2}{y^2}+1}{y}\\ &=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\\ &=-\frac{1}{y^3} \end{aligned}2x+2yy′2+(2y)y′′+(2y′)y′y′′So, we need an expression for y′. We use the equation 2x+2yy′=0 to conclude y′=−yx:y′′=0=0=−y(y′)2+1=−y(−yx)2+1=−yy2x2+1=−y3x2+y2=−y31 한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 6번우리말 번역d2dx2{arctanx}\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\arctan x\}dx2d2{arctanx} 의 값을 구하세요. 풀이 공책 펴기한 줄씩 식 확인다 풀었으면 정답 확인ddx{arctanx}=11+x2ddx{11+x2}=ddx{(1+x2)−1}=(−1)(1+x2)−2(2x)=−2x(1+x2)2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\arctan x\}&=\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{(1+x^2)^{-1}\right\}\\ &=(-1)(1+x^2)^{-2}(2x)\\&=\frac{-2x}{(1+x^2)^2} \end{aligned}dxd{arctanx}dxd{1+x21}=1+x21=dxd{(1+x2)−1}=(−1)(1+x2)−2(2x)=(1+x2)2−2x 이 문제로 이어서 풀기 # 이계도함수와 오목·볼록계산●●●보통자동 분류