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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

이계도함수와 오목·볼록

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.14절 · 10번우리말 번역

시각 tt 초에서 입자의 높이가 h(t)=−cos⁡th(t)=-\cos t 로 주어진다. t=1t=1 에서 입자는 빨라지고 있는지 느려지고 있는지 판단하세요.

영어 원문 보기

The height of a particle at time tt seconds is given by h(t)=−cos⁡th(t)=-\cos t. Is the particle speeding up or slowing down at t=1t=1?

정답·풀이 보기

입자의 속도는 h′(t)=sin⁡th'(t)=\sin t 로 주어진다. 0<1<π0<1<\pi 이므로 h′(1)>0h'(1)>0 이다. 즉, 입자는 올라가고 있다(양의 방향, 여기서는 “위쪽"으로 움직이고 있다). 입자의 가속도는 h′′(t)=cos⁡th''(t)=\cos t 이다. 0<1<π20<1<\frac{\pi}{2} 이므로 h′′(t)>0h''(t)>0 이고, 따라서 h′(t)h'(t) 는 증가한다. 즉, 입자는 위쪽으로 움직이고 있고, 그 속도가 점점 커지고 있다. 따라서 입자는 빨라지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity of the particle is given by h′(t)=sin⁡th'(t)=\sin t. Note 0<1<π0<1<\pi, so h′(1)>0h'(1)>0–the particle is rising (moving in the positive direction, in this case “up"). The acceleration of the particle is h′′(t)=cos⁡th''(t)=\cos t. Since 0<1<π20<1<\frac{\pi}{2}, h′′(t)>0h''(t)>0, so h′(t)h'(t) is increasing: the particle is moving up, and it's doing so at an increasing rate. So, the particle is speeding up.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 11번우리말 번역

시각 tt초에서 입자의 높이가 h(t)=t3−t2−5t+10h(t)=t^3-t^2-5t+10 으로 주어진다. t=1t=1 에서 입자의 운동은 빨라지고 있는지 느려지고 있는지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이 문제에서는 속도에는 방향을 나타내는 부호가 있지만 속력에는 없다는 점을 기억해야 한다.

입자의 속도는 h′(t)=3t2−2t−5h'(t)=3t^2-2t-5 이다. t=1t=1 에서 입자의 속도는 −4-4 이므로, 입자는 초당 4 단위의 속력으로 아래쪽으로 움직이고 있다. 입자의 가속도는 h′′(t)=6t−2h''(t)=6t-2 이므로 t=1t=1 일 때 가속도는 (양수인) 초당 44 단위의 변화율(초당 속도 변화량)이다. 이는 속도(현재 초당 −4-4 단위)가 더 큰 수가 되어 가고 있다는 뜻이다. 속도가 음수이므로 더 큰 수는 0에 더 가까운 수이고, 따라서 입자의 속력은 작아지고 있다. (예를 들어 속도 −3-3 은 속도 −4-4 보다 느린 운동을 나타낸다.) 그러므로 입자는 t=1t=1 에서 느려지고 있다.

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