빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

이계도함수와 오목·볼록

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.14절 · 15번우리말 번역

f(x)=2xf(x)=2^{x}이라 하자. nn이 0 이상의 정수일 때, f(n)(x)f^{(n)}(x)를 구하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=2xf(x)=2^{x}. What is f(n)(x)f^{(n)}(x), if nn is a whole number?

정답·풀이 보기

규칙을 찾기 위해 몇 번 미분한다.

ddx{2x}=2xlog⁡2d2dx2{2x}=2xlog⁡2⋅log⁡2=2x(log⁡2)2d3dx3{2x}=2x(log⁡2)2⋅log⁡2=2x(log⁡2)3미분할 때마다 원래 함수에 log⁡2가 한 번씩 더 곱해진다. 따라서 n계 도함수는 다음과 같다:dndxn{2x}=2x(log⁡2)n\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\}&=2^x\log 2\\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{2^x\}&=2^x\log2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^2\\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{2^x\}&=2^x(\log2)^2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^3 \\ \text{미분할 때마다 원래 함수에 $\log 2$가 한 번씩 더 곱해진다. 따라서 $n$계 도함수는 다음과 같다:} \\ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\{2^x\}&=2^x(\log2)^n \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We differentiate a few time to find the pattern.

ddx{2x}=2xlog⁡2d2dx2{2x}=2xlog⁡2⋅log⁡2=2x(log⁡2)2d3dx3{2x}=2x(log⁡2)2⋅log⁡2=2x(log⁡2)3Every time we differentiate, we multiply the original function by another factor of log⁡2. So, the nth derivative is given by:dndxn{2x}=2x(log⁡2)n\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2^x\}&=2^x\log 2\\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{2^x\}&=2^x\log2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^2\\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{2^x\}&=2^x(\log2)^2 \cdot \log 2 = 2^x(\log2)^3 \\ \text{Every time we differentiate, we multiply the original function by another factor of $\log 2$. So, the $n$th derivative is given by:} \\ \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}{x}^n}\{2^x\}&=2^x(\log2)^n \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 9번우리말 번역

d3dx3{log⁡(5x2−12)}\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\} 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

합성함수의 미분법을 사용하여 미분한다.

ddx{log⁡(5x2−12)}=10x5x2−12몫의 미분법을 사용하면:d2dx2{log⁡(5x2−12)}=ddx{10x5x2−12}=(5x2−12)(10)−10x(10x)(5x2−12)2=−10(5x2+12)(5x2−12)2몫의 미분법을 마지막으로 한 번 더 사용하면:d3dx3{log⁡(5x2−12)}=ddx{−10(5x2+12)(5x2−12)2}=(5x2−12)2(−10)(10x)+10(5x2+12)(2)(5x2−12)(10x)(5x2−12)4=(5x2−12)(−100x)+(200x)(5x2+12)(5x2−12)3=100x(−5x2+12+10x2+24)(5x2−12)3=100x(5x2+36)(5x2−12)3\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{10x}{5x^2-12} \\ \text{몫의 미분법을 사용하면:} \\ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{10x}{5x^2-12}\right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)(10)-10x(10x)}{(5x^2-12)^2}\\ &=\frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \\ \text{몫의 미분법을 마지막으로 한 번 더 사용하면:} \\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\{\log(5x^2-12)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{-10(5x^2+12)}{(5x^2-12)^2} \right\}\\ &=\frac{(5x^2-12)^2(-10)(10x)+10(5x^2+12)(2)(5x^2-12)(10x)}{(5x^2-12)^4}\\ &=\frac{(5x^2-12)(-100x)+(200x)(5x^2+12)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(-5x^2+12+10x^2+24)}{(5x^2-12)^3}\\ &=\frac{100x(5x^2+36)}{(5x^2-12)^3} \end{aligned}

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# 이계도함수와 오목·볼록계산도전자동 분류

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