이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — CLP-1 · 2.14절 · 20번

CLP-1 · 2.14절 · 20번우리말 번역

$f(x)$ 가 처음 $n$ 계 도함수까지 모든 실수에서 존재하는 함수이고, $f^{(n)}(x)$ 가 근을 정확히 $m$ 개 갖는다고 하자. 이때 $f(x)$ 가 가질 수 있는 근의 최대 개수를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function whose first $n$ derivatives exist over all real numbers, and $f^{(n)}(x)$ has precisely $m$ roots. What is the maximum number of roots that $f(x)$ may have?

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$f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이기도 하다. 마찬가지로 $f'(x)$ 도 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이고, $f(x)$ 의 처음 $n$ 계 도함수까지 같은 방식으로 계속된다.

롤의 정리에 따르면, $a$ 와 $b$ 가 함수 $g$ 의 서로 다른 근이면 $(a,b)$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $g'(x)=0$ 이다. 즉 $g'$ 은 $a$ 와 $b$ 사이에 근을 갖는다. 이 생각을 확장하면, $g$ 가 서로 다른 근을 $m+1$ 개 가질 때 $g'$ 은 서로 다른 근을 적어도 $m$ 개 가져야 한다. 아래의 그래프가 그 예이다.

따라서 $f^{(n)}(x)$ 의 근이 $m$ 개뿐이면 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+1$ 개이다. 마찬가지로 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근이 많아야 $m+1$ 개이므로 $f^{(n-2)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+2$ 개이다. 이와 같이 계속하면 $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ 는 서로 다른 근을 많아야 $m+n$ 개 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable over all real numbers, it is also continuous over all real numbers. Similarly, $f'(x)$ is differentiable over all real numbers, so it is also continuous over all real numbers, and so on for the first $n$ derivatives of $f(x)$ .

Rolle's Theorem tells us that if $a$ and $b$ are distinct roots of a function $g$ , then $g'(x)=0$ for some $c$ in $(a,b)$ . That is, $g'$ has a root strictly between $a$ and $b$ . Expanding this idea, if $g$ has $m+1$ distinct roots, then $g'$ must have at least $m$ distinct roots, as in the sketch below.

So, if $f^{(n)}(x)$ has only $m$ roots, then $f^{(n-1)}(x)$ has at most $m+1$ roots. Similarly, since $f^{(n-1)}(x)$ has at most $m+1$ roots, $f^{(n-2)}(x)$ has at most $m+2$ roots. Continuing in this way, we see $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ has at most $m+n$ distinct roots.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 16번우리말 번역

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 라 하자. 여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 0이 아닌 상수이다. 모든 $x$ 에 대해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}{x}^n}=0$ 이 되도록 하는 가장 작은 정수 $n$ 을 구하세요.

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거듭제곱 법칙을 이용하여 미분한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}&=3ax^2+2bx+c\\ \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}{x}^2}&=6ax+2b\\ \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3}&=6a\\ \frac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}{x}^4}&=0 \end{aligned}$

위 계산에서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 모두 상수임에 유의한다. 이들은 0이 아닌 상수이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}{x}^3} =6a\neq 0$ 이다. 따라서 4계 도함수가 처음으로 항등적으로 0이 되는 도함수이다: $n=4$ .

이 문제로 이어서 풀기

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