도함수의 뜻 연습문제 — CLP-1 · 2.2절 · 9번

CLP-1 · 2.2절 · 9번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 곡선 $y(x)=x^3+5$ 위의 점 $(1,6)$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to find the equation of the tangent line to the curve $y(x)=x^3+5$ at the point $(1,6)$ .

정답·풀이 보기

한 점과 그 점에서의 기울기를 알면 점-기울기 꼴로 직선의 방정식을 구할 수 있다. 점은 $(1,6)$ 으로 주어져 있다. 기울기는 미분계수이다.

$\begin{aligned} y'(1)&=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{y(1+h)-y(1)}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[(1+h)^3+5]-[1^3+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{[1+3h+3h^2+h^3+5]-[1+5]}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{3h+3h^2+h^3}{h}\\ &=\lim_{h \rightarrow 0}{3+3h+h^2}\\ &=3 \end{aligned}$

따라서 기울기는 3이고, 직선의 방정식은 $y-6=3(x-1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We can use point-slope form to get the equation of the line, if we have a point and its slope. The point is given: $(1,6)$ . The slope is the derivative:

So our slope is 3, which gives a line of equation $y-6=3(x-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 19번우리말 번역

다음 함수의 $x=0$ 에서의 미분계수가 존재하는지 판단하세요.

$\begin{aligned} f(x) &=\begin{cases} x \cos x & \text{(}x\ge 0\text{ 일 때)}\\ \sqrt{x^2+x^4} & \text{(}x< 0\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}$

미분계수의 정의를 이용하여 답이 옳음을 보여야 합니다.

다 풀었으면 정답 확인

다음 극한 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}$ 이 존재하면 함수는 $x=0$ 에서 미분가능하다 ( $x=0$ 을 포함하는 첫 번째 식의 정의에 따라 $f(0)=0$ 임을 이용했다). 먼저 좌극한을 계산한다. 이 계산에서 $x<0$ 이면 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ 임을 떠올리자. $\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^2+x^4}}{x}=\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+x^2}}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{-x\sqrt{1+x^2}}{x}=-1$ 이제 우극한을 구하면 $\lim_{x\to 0^+}\frac{x\cos x}{x}=\lim_{x\to 0^+}\cos x = 1.$ 좌극한과 우극한이 같지 않으므로 $x=0$ 에서 미분계수는 존재하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

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