빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 12번우리말 번역

도함수의 정의를 이용하여 함수 f(x)=2x+1f(x)=\frac{2}{x+1} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Use the definition of the derivative to compute the derivative of the function f(x)=2x+1f(x)=\frac{2}{x+1}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

도함수의 정의를 세운다.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(2x+h+1−2x+1)=lim⁡h→02h (x+1)−(x+h+1)(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→02h −h(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→0−2(x+h+1)(x+1)=−2(x+1)2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We set up the definition of the derivative.

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h=lim⁡h→01h(2x+h+1−2x+1)=lim⁡h→02h (x+1)−(x+h+1)(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→02h −h(x+h+1)(x+1)=lim⁡h→0−2(x+h+1)(x+1)=−2(x+1)2\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\frac{2}{x+h+1} -\frac{2}{x+1}\Big) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{(x+1)-(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2}{h}\ \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-2}{(x+h+1)(x+1)} =\frac{-2}{(x+1)^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 5번우리말 번역

f′(x)f'(x) 가 존재하지 않는 xx 의 값을 구하세요.

그림

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

f′(−1)f'(-1) 은 존재하지 않는다. x=−1x=-1 의 왼쪽에서는 기울기가 상당히 큰 양수(약 +1+1 로 보인다)이고 오른쪽에서는 기울기가 −1/4-1/4 이기 때문이다. 미분계수는 극한을 포함하므로, 그 극한이 존재하려면 왼쪽에서의 극한과 오른쪽에서의 극한이 일치해야 한다. x=−1x=-1 에서 그래프가 날카로운 각을 이루는 것은 왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 일치하지 않음을 나타내므로 미분계수는 존재하지 않는다.

f′(3)f'(3) 도 존재하지 않는다. 이를 확인하는 한 가지 방법은 이 점에서 함수가 불연속임에 주목하는 것이다. 더 직관적으로 보면, f(3)=1f(3)=1 이므로 한 끝점을 (3,1)(3,1) 로 하고 다른 끝점을 x=3x=3 의 바로 오른쪽에 잡아 할선을 그으면, 아래 그림과 같이 기울기가 절댓값이 점점 커지는 음수가 된다. xx 가 오른쪽에서 33 으로 갈 때 이 할선들의 기울기의 극한을 구하면 −∞-\infty 이다. (이것은 왼쪽에서의 기울기 −14-\frac{1}{4} 과 분명히 일치하지 않는다.)

그림

x=−3x=-3 에서는 그래프에 어떤 “변화”가 있지만 매끄러운 곡선이므로 이곳에서 미분계수는 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기
# 도함수의 뜻계산보통자동 분류

「도함수의 뜻」 문제 목록으로