도함수의 뜻

다음 극한이 $$\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-0}{x-1}=\lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x-1}$$ 존재하면 함수는 $x=1$ 에서 미분가능하다(점 $x=0$ 을 포함하는 첫 번째 식의 정의에 따라 $f(1)=0$ 임을 이용했음에 유의한다). 좌극한과 우극한을 각각 계산하면 $$\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{4x^2-8x+4}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{4(x-1)^2}{x-1} =\lim_{x\to 1^-} 4(x-1)=0$$ 이고 $$\lim_{x\to 1^+}\frac{(x-1)^2\sin\left(\frac{1}{x-1}\right)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}(x-1)\cdot \sin\left(\frac{1}{x-1}\right)$$ 이다. 이 마지막 극한은 조임 정리에 의해 $0$ 이다. 왜냐하면 $$-1\le \sin\left(\frac{1}{x-1}\right)\le 1$$ 이므로 $$-(x-1)\le (x-1)\cdot \sin\left(\frac{1}{x-1}\right)\le x-1$$ 이고, 이 부등식에서 $x\to 1^+$ 이면 $x-1$ 이 양의 값을 가진다는 사실을 이용했기 때문이다. 마지막으로 $\lim_{x\to 1^+}-x+1=\lim_{x\to 1^+}x-1=0$ 이므로, 조임 정리에 의해 $\lim_{x\to 1^+}(x-1)\sin\left(\frac{1}{x-1}\right) =0$ 이기도 하다.

좌극한과 우극한이 서로 같으므로(둘 다 $0$ 이다), $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 미분가능하다고 결론짓는다(그리고 $x=1$ 에서의 미분계수는 실제로 $0$ 이다).