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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

도함수의 뜻

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.2절 · 20번우리말 번역

다음 함수의 x=0x=0 에서의 미분계수가 존재하는지 판단하세요.

f(x)={xcos⁡x(x≤0 일 때)1+x−1(x>0 일 때)\begin{aligned} f(x) &=\begin{cases} x \cos x & \text{(}x\le 0\text{ 일 때)}\\ \sqrt{1+x}-1 & \text{(}x> 0\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}

답은 미분계수의 정의를 이용하여 정당화하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the derivative of the following function exists at x=0x=0

f(x)={xcos⁡x if x≤01+x−1 if x>0\begin{aligned} f(x) &=\begin{cases} x \cos x & \text{ if } x\le 0\\ \sqrt{1+x}-1 & \text{ if } x> 0 \end{cases} \end{aligned}

You must justify your answer using the definition of a derivative.

정답·풀이 보기

다음 극한이 lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f(x)−0x=lim⁡x→0f(x)x\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} 존재하면 이 함수는 x=0x=0 에서 미분가능하다 (x=0x=0 을 포함하는 첫 번째 식의 정의에 따라 f(0)=0f(0)=0 임을 이용했다).

먼저 좌극한을 계산한다.

lim⁡x→0−f(x)x=lim⁡x→0−xcos⁡xx=lim⁡x→0−cos⁡x=1.\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-} \frac{x\cos x}{x} =\lim_{x\to 0^-} \cos x = 1. \end{aligned}

이제 우극한을 계산한다.

lim⁡x→0+1+x−1x=lim⁡x→0+1+x−1x⋅1+x+11+x+1=lim⁡x→0+1+x−1x(1+x+1)=lim⁡x→0+11+x+1=12\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} \\ &= \lim_{x\to 0^+} \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2} \end{aligned}

좌극한과 우극한이 같지 않으므로 x=0x=0 에서의 미분계수는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is differentiable at x=0x=0 if the following limit: lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f(x)−0x=lim⁡x→0f(x)x\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} exists (note that we used the fact that f(0)=0f(0)=0 as per the definition of the first branch which includes the point x=0x=0).

We start by computing the left limit.

lim⁡x→0−f(x)x=lim⁡x→0−xcos⁡xx=lim⁡x→0−cos⁡x=1.\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-} \frac{x\cos x}{x} =\lim_{x\to 0^-} \cos x = 1. \end{aligned}

Now, from the right:

lim⁡x→0+1+x−1x=lim⁡x→0+1+x−1x⋅1+x+11+x+1=lim⁡x→0+1+x−1x(1+x+1)=lim⁡x→0+11+x+1=12\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} \\ &= \lim_{x\to 0^+} \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2} \end{aligned}

Since the limit from the left does not equal the limit from the right, the derivative does not exist at x=0x=0.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.2절 · 21번우리말 번역

다음 함수의 x=0x=0 에서의 미분계수가 존재하는지 판단하세요.

f(x)={x3−7x2(x≤0 일 때)x3cos⁡(1x)(x>0 일 때)\begin{aligned} f(x) &=\begin{cases} x^3-7x^2 & \text{(}x\le 0\text{ 일 때)}\\ x^3 \cos\left(\frac{1}{x}\right) & \text{(}x> 0\text{ 일 때)}\end{cases} \end{aligned}

답은 미분계수의 정의를 이용하여 정당화해야 합니다.

다 풀었으면 정답 확인

다음 극한

lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f(x)−0x=lim⁡x→0f(x)x\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} \end{aligned}

이 존재하면 함수는 x=0x=0 에서 미분가능하다(x=0x=0 을 포함하는 첫 번째 식의 정의에 따라 f(0)=0f(0)=0 임을 이용했음에 주의한다). 좌극한과 우극한을 계산하면

lim⁡x→0−f(x)x=lim⁡x→0−x3−7x2x=lim⁡x→0−x2−7x=0\begin{aligned} \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0^-}\frac{x^3-7x^2}{x}=\lim_{x\to 0^-} x^2-7x=0 \end{aligned}

이고

lim⁡x→0+x3cos⁡(1x)x=lim⁡x→0+x2⋅cos⁡(1x).\begin{aligned} \lim_{x\to 0^+}\frac{x^3\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^2\cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right). \end{aligned}

이 마지막 극한은 조임 정리에 의해 00 이다. 왜냐하면

−1≤cos⁡(1x)≤1\begin{aligned} -1\le \cos\left(\frac{1}{x}\right)\le 1 \end{aligned}

이므로

−x2≤x2⋅cos⁡(1x)≤x2,\begin{aligned} -x^2\le x^2\cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\le x^2, \end{aligned}

이고, 이 부등식에서 x2≥0x^2\ge 0 임을 이용했기 때문이다. 마지막으로 lim⁡x→0+−x2=lim⁡x→0+x2=0\lim_{x\to 0^+}-x^2=\lim_{x\to 0^+}x^2=0 이므로, 조임 정리에 의해 lim⁡x→0+x2cos⁡(1x)=0\lim_{x\to 0^+}x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) =0 도 성립한다.

좌극한과 우극한이 같으므로(둘 다 00 이다) f(x)f(x) 는 x=0x=0 에서 미분가능하다고 결론짓는다(그리고 x=0x=0 에서의 미분계수는 실제로 00 이다).

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