다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.4절 · 13번

CLP-1 · 2.4절 · 13번우리말 번역

곡선 $y=3x^2$ 위의 점 중에서 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the curve $y=3x^2$ where the tangent line passes through $(2,9)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이미 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ 임을 알고 있다. 따라서 $y=3x^2$ 의 $x=a$ 에서의 기울기는 $6a$ 이다. $y=3x^2$ 의 $x=a, y=3a^2$ 에서의 접선은 $y-3a^2=6a(x-a)$ 이다. 이 접선이 $(2,9)$ 를 지나는 경우는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

구하는 점은 $(1,3),\ (3,27)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We already know that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2=2x$ . So the slope of $y=3x^2$ at $x=a$ is $6a$ . The tangent line to $y=3x^2$ at $x=a, y=3a^2$ is $y-3a^2=6a(x-a)$ . This tangent line passes through $(2,9)$ if

$\begin{aligned} 9-3a^2&=6a(2-a)\\ 3a^2-12a+9&=0\\ a^2-4a+3&=0\\ (a-3)(a-1)&=0\\ \implies~~a&=1,3 \end{aligned}$

The points are $(1,3),\ (3,27)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.4절 · 12번우리말 번역

한 마을이 2000년에 세워졌다. $t$ 년이 지난 뒤 이 마을에서는 출생이 $b(t)$ 명, 사망이 $d(t)$ 명 있었다. 출생이나 사망 외에는 이 마을에 들어오거나 떠나는 사람이 없다(어이쿠). 이 마을의 인구가 증가하는 변화율을 나타내는 식을 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

인구 증가는 인구의 변화율이다. $2000+t$ 년의 인구는 $P(t)=P_0+b(t)-d(t)$ 로 주어진다. 여기서 $P_0$ 는 마을의 처음 인구이다. 그러면 $P'(t)$ 가 우리가 구하는 식이고, $P'(t)=b'(t)-d'(t)$ 이다.

처음 인구가 이 계산에 뚜렷하게 나타나지 않는다는 점은 흥미롭다. 처음 인구는 아마 $b(t)$ 와 $d(t)$ 에 영향을 주겠지만, 이 둘을 알고 있다면 문제에 답하기 위해 $P_0$ 를 알 필요는 없다.

이 문제로 이어서 풀기

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