빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

다항함수의 미분법

xⁿ의 미분, 상수배·합·차·곱의 미분법으로 다항함수의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

138문제 · 1 / 7쪽

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

  1. 1

    식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. x2x^2 를 각 항에 곱하면 f(x)=x2⋅2x2+x2⋅5x3=2+5x(x≠0)f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)

  2. 2

    미분하기 좋은 꼴로 써요. 5x=5x−1\dfrac{5}{x}=5x^{-1} 이므로 f(x)=2+5x−1f(x)=2+5x^{-1} 이에요.

  3. 3

    항별로 미분해요. 상수 22 의 도함수는 00, 5x−15x^{-1} 의 도함수는 5⋅(−1)x−2=−5x−25\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2} 예요. 그러므로 f′(x)=−5x2f'(x)=-\frac{5}{x^2}

답

f′(x)=−5x2f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 x−1x^{-1} 의 도함수를 −x0-x^{0} 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 x−2x^{-2} 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=−5x2{f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번
# 다항함수의 미분법계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. f(1)=5, f′(1)=3, f′′(1)=−6f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate f′(a),{f}^{'}(a), and b. graph the function f(x)f(x) and the tangent line at x=a.x=a.

Find a quadratic polynomial such that f(1)=5,f′(1)=3f(1)=5,{f}^{'}(1)=3 and f′′(1)=−6.{f}^{''}(1)=-6.

답 쓰고 채점
풀이 보기

이차식을 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 놓고 f′′f'', f′f', ff 순서로 조건을 대입하면 aa, bb, cc 가 차례로 정해져요.

  1. 1

    구하려는 함수를 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 놓아요. 미분하면

    f′(x)=2ax+b,f′′(x)=2af'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a

  2. 2

    가장 간단한 조건인 f′′(1)=−6f''(1)=-6 부터 써요. f′′f'' 는 상수 2a2a 이므로 2a=−62a=-6, 즉 a=−3a=-3 이에요.

  3. 3

    f′(1)=2a+b=3f'(1)=2a+b=3 이고 a=−3a=-3 이므로 −6+b=3-6+b=3, 즉 b=9b=9 예요.

  4. 4

    f(1)=a+b+c=5f(1)=a+b+c=5 에서 −3+9+c=5-3+9+c=5 이므로 c=−1c=-1 이에요.

    f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^2+9x-1

답

f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^{2}+9x-1

자주 하는 실수

f′′(1)=−6f''(1)=-6 을 a=−6a=-6 으로 읽어요. f′′=2af''=2a 이므로 a=−3a=-3 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−3x2+9x−1y=-3{x}^{2}+9x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번
# 다항함수의 미분법계산보통
3.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 pp(달러)와 수요량 xx 사이의 관계가 p=10−0.001xp=10-0.001x로 주어져요.

a. 수입 함수 R(x)R(x)를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. x=2000x=2000과 x=5000x=5000에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price pp (in dollars) and the demand xx for a certain digital clock radio is given by the price–demand function p=10−0.001x.p=10-0.001x.

a. Find the revenue function R(x).R(x). b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at x=2000x=2000 and 5000.5000.

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

  1. 1

    (a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. R(x)=x⋅p=x(10−0.001x)=10x−0.001x2R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2이에요.

  2. 2

    (b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. R′(x)=10−0.002xR'(x)=10-0.002x예요.

  3. 3

    (c) 값을 대입해요. R′(2000)=10−0.002⋅2000=6R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6, R′(5000)=10−0.002⋅5000=0R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) R(x)=10x−0.001x2R(x)=10x-0.001x^2 (b) R′(x)=10−0.002xR'(x)=10-0.002x (c) x=2000x=2000에서 66, x=5000x=5000에서 00 (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 R(x)R(x)를 구하지 않고 가격 pp를 그대로 미분해 −0.001-0.001이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. R(x)=10x−0.001x2R(x)=10x-0.001{x}^{2} b. R′(x)=10−0.002x{R}^{'}(x)=10-0.002x c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번
# 다항함수의 미분법활용기본
4.OpenStax 1권 · 3.3절 · 1번우리말 번역

다음 각 함수에 대하여 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=x7+10f(x)={x}^{7}+10

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x7+10f(x)={x}^{7}+10

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 11번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 3.3절 · 2번우리말 번역

다음 각 함수에 대하여 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=5x3−x+1f(x)=5{x}^{3}-x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=5x3−x+1f(x)=5{x}^{3}-x+1

정답·풀이 보기

f′(x)=15x2−1{f}^{'}(x)=15{x}^{2}-1

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=15x2−1{f}^{'}(x)=15{x}^{2}-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.3절 · 7번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.3절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=4x2−7xf(x)=4{x}^{2}-7x

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=4x2−7xf(x)=4{x}^{2}-7x

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 7번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.3절 · 4번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=8x4+9x2−1f(x)=8{x}^{4}+9{x}^{2}-1

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=8x4+9x2−1f(x)=8{x}^{4}+9{x}^{2}-1

정답·풀이 보기

f′(x)=32x3+18x{f}^{'}(x)=32{x}^{3}+18x

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=32x3+18x{f}^{'}(x)=32{x}^{3}+18x

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 6번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.3절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=x4+2xf(x)={x}^{4}+\frac{2}{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x4+2xf(x)={x}^{4}+\frac{2}{x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 14번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 3.3절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=3x(18x4+13x+1)f(x)=3x\left(18{x}^{4}+\frac{13}{x+1}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=3x(18x4+13x+1)f(x)=3x\left(18{x}^{4}+\frac{13}{x+1}\right)

정답·풀이 보기

f′(x)=270x4+39(x+1)2{f}^{'}(x)=270{x}^{4}+\frac{39}{{(x+1)}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=270x4+39(x+1)2{f}^{'}(x)=270{x}^{4}+\frac{39}{{(x+1)}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.3절 · 10번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 3.3절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 각 함수에 대해 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=(x+2)(2x2−3)f(x)=(x+2)(2{x}^{2}-3)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=(x+2)(2x2−3)f(x)=(x+2)(2{x}^{2}-3)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 10번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 3.3절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=x3+2x2−43f(x)=\frac{{x}^{3}+2{x}^{2}-4}{3}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x3+2x2−43f(x)=\frac{{x}^{3}+2{x}^{2}-4}{3}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.3절 · 4번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 3.3절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=4x3−2x+1x2f(x)=\frac{4{x}^{3}-2x+1}{{x}^{2}}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=4x3−2x+1x2f(x)=\frac{4{x}^{3}-2x+1}{{x}^{2}}

정답·풀이 보기

f′(x)=4x4+2x2−2xx4{f}^{'}(x)=\frac{4{x}^{4}+2{x}^{2}-2x}{{x}^{4}}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=4x4+2x2−2xx4{f}^{'}(x)=\frac{4{x}^{4}+2{x}^{2}-2x}{{x}^{4}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 12번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 3.3절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=x2+4x2−4f(x)=\frac{{x}^{2}+4}{{x}^{2}-4}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2+4x2−4f(x)=\frac{{x}^{2}+4}{{x}^{2}-4}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 23번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.3절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 f′(x){f}^{'}(x) 를 구하세요.

f(x)=x+9x2−7x+1f(x)=\frac{x+9}{{x}^{2}-7x+1}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x+9x2−7x+1f(x)=\frac{x+9}{{x}^{2}-7x+1}

정답·풀이 보기

f′(x)=−x2−18x+64(x2−7x+1)2{f}^{'}(x)=\frac{-{x}^{2}-18x+64}{{({x}^{2}-7x+1)}^{2}}

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=−x2−18x+64(x2−7x+1)2{f}^{'}(x)=\frac{-{x}^{2}-18x+64}{{({x}^{2}-7x+1)}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 1번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.3절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 주어진 함수의 그래프의 접선의 방정식 T(x)T(x) 를 구하세요. 공학용 그래프 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 점 (0,1)(0,1) 에서 y=3x2+4x+1y=3{x}^{2}+4x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] y=3x2+4x+1y=3{x}^{2}+4x+1 at (0,1)(0,1)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 10번
# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.3절 · 14번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 주어진 함수의 그래프의 접선의 방정식 T(x)T(x) 를 구하세요. 공학용 그래프 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 점 (1,3)(1,3) 에서 y=2x2+1y=\frac{2}{{x}^{2}}+1

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] y=2x2+1y=\frac{2}{{x}^{2}}+1 at (1,3)(1,3)

정답·풀이 보기

함수 y의 그래프는 완만하게 휘어진 곡선이며 y절편은 1이다. 직선 T(x)는 곧은 직선으로 y절편이 3이고 기울기가 1/2이다.

T(x)=−4x+7T(x)=-4x+7

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a slightly curving line with y intercept at 1. The line T(x) is straight with y intercept 3 and slope 1/2.

T(x)=−4x+7T(x)=-4x+7

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 10번
# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 3.3절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점에서 주어진 함수의 그래프에 접하는 접선의 방정식 T(x)T(x) 를 구하세요. 그래픽 계산기를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 점 (−1,1)(-1,1) 에서 y=2xx−1y=\frac{2x}{x-1}

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line T(x)T(x) to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] y=2xx−1y=\frac{2x}{x-1} at (−1,1)(-1,1)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 7번
# 다항함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 3.3절 · 17번우리말 번역

다음 연습문제에서, f(x)f(x) 와 g(x)g(x) 가 모든 xx 에 대해 미분가능한 함수라고 가정하세요. 각 함수 h(x)h(x) 의 도함수를 구하세요.

h(x)=4f(x)+g(x)7h(x)=4f(x)+\frac{g(x)}{7}

영어 원문 보기

For the following exercises, assume that f(x)f(x) and g(x)g(x) are both differentiable functions for all x.x. Find the derivative of each of the functions h(x).h(x).

h(x)=4f(x)+g(x)7h(x)=4f(x)+\frac{g(x)}{7}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 2번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 3.3절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(x)f(x) 와 g(x)g(x) 는 모든 xx 에 대해 모두 미분가능한 함수라고 가정합니다. 각 함수 h(x)h(x) 의 도함수를 구하세요.

h(x)=x3f(x)h(x)={x}^{3}f(x)

영어 원문 보기

For the following exercises, assume that f(x)f(x) and g(x)g(x) are both differentiable functions for all x.x. Find the derivative of each of the functions h(x).h(x).

h(x)=x3f(x)h(x)={x}^{3}f(x)

정답·풀이 보기

h′(x)=3x2f(x)+x3f′(x){h}^{'}(x)=3{x}^{2}f(x)+{x}^{3}{f}^{'}(x)

원본 교재 풀이(영어)

h′(x)=3x2f(x)+x3f′(x){h}^{'}(x)=3{x}^{2}f(x)+{x}^{3}{f}^{'}(x)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 7번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 3.3절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 f(x)f(x) 와 g(x)g(x) 는 모든 xx 에 대해 모두 미분가능한 함수라고 가정합니다. 각 함수 h(x)h(x) 의 도함수를 구하세요.

h(x)=f(x)g(x)2h(x)=\frac{f(x)g(x)}{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, assume that f(x)f(x) and g(x)g(x) are both differentiable functions for all x.x. Find the derivative of each of the functions h(x).h(x).

h(x)=f(x)g(x)2h(x)=\frac{f(x)g(x)}{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 17번
# 다항함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)