다항함수의 미분법

(a) $w$ 는 $w(t) = 3r(t) - 2s(t)$ 의 꼴이므로, 합의 미분법과 상수배의 미분법에 의해 $w'(t) = 3r'(t) - 2s'(t)$ 이다. $r'$ 과 $s'$ 에 대해 주어진 정보를 적용하면 $w'(t) = 3t^t(\ln(t) + 1) + 2\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 이다. (b) $w(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} - 2\arccos(\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2\pi}{3}$ 이다. 마찬가지로, $$\begin{aligned}w'\left(\frac{1}{2}\right) &= 3\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + 2\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\end{aligned}\,.$$ 이 값들을 이용하면, 점 $(\frac{1}{2},w(\frac{1}{2})$ 에서 $w$ 의 접선은 $$L(t) = w\left(\frac{1}{2}\right) + w'\left(\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2\pi}{3}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)\,$$ 이다. (c) $t = \frac{1}{2}$ 에서 $v$ 가 증가하는지 감소하는지 판단하기 위해 $v'(\frac{1}{2})$ 을 계산한다. 먼저 $v'(t) = t^t(\ln(t) + 1) - \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 이다. 따라서 $$v'\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) - \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} \approx -0.93772\,$$ 이다. $v'(\frac{1}{2})$ 이 음수이므로 $v$ 는 $t = \frac{1}{2}$ 에서 감소한다.