다항함수의 미분법

(a) 정의에 의해 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.$$ $f(x)=a^x$ 이고 $a^{x+h} = a^x \cdot a^h$ 임을 이용하면 $$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h}\end{aligned}\,,$$ 이다. 여기서 마지막 등호는 분자의 각 항에서 공통인수 $a^x$ 을 묶어 내면 성립한다. (b) $a^x$ 은 $h$ 에 전혀 의존하지 않으므로, 이 극한에서 $a^x$ 을 상수로 취급할 수 있다. 따라서 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h} = a^{x} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}\,.$$ 이는 $a^x$ 의 도함수가 $a^x$ 의 어떤 상수 배임을 알려 준다. (그리고 그 상수의 값은 $\lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$ 이어야 한다.) (c) $h = \pm 0.0001$ 을 이용하면, $a = 2$ 일 때 $L \approx 0.6931$ 이고 $a = 3$ 일 때 $L \approx 1.0986$ 인 것으로 보인다. (d) 시험해 보면, 먼저 $a \approx 2.7$ 임을 알 수 있다($L \approx 0.993$ 이므로 $a$ 는 $2.7$ 보다 조금 더 커야 한다). $L$ 이 $1$ 에 점점 더 가까워지는 $a$ 의 값을 계속 시험하면 $a \approx 2.71828$ 을 얻는다($L \approx 1.000$ 이 되는 값). (e) $\ln(2) \approx 0.6931$ 이고 $\ln(3) \approx 1.0986$ 임에 주목하자. 이 값들은 $a = 2$ 와 $a = 3$ 일 때 $$\lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$$ 의 값과 일치하므로, $$\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \cdot \ln(2)$$ 그리고 $$\frac{d}{dx}[3^x] = 3^x \cdot \ln(3)$$ 이라고 추측한다. (f) 위의 작업은 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \cdot \ln(a)$ 임을 암시하며, $a = e \approx 2.71828$ 일 때 $$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x \cdot \ln(e) = e^x$$ 이다. 따라서 $e^x$ 은 매우 특별한 함수이다. 그 도함수가 자기 자신이다!