다항함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.6절 · 19번

CLP-1 · 2.6절 · 19번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to 2}\left( \dfrac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2}\right)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to 2}\left( \dfrac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2}\right).$

정답·풀이 보기

이 극한은 함수 $f(x)=x^{2015}$ 의 $x=2$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이는 $a=2$ , $f(x)=x^{2015}$ 에 미분계수의 정의를 그대로 적용하면 확인할 수 있다.

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^{2015}\}\right|_{2} &=\lim_{x\to2} \frac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2} \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수는 $2015\cdot x^{2014}$ 이므로 $x=2$ 에서의 값은 정확히 $2015\cdot 2^{2014}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=2$ of the function $f(x)=x^{2015}$ . To see this, simply use the definition of the derivative at $a=2$ with $f(x)=x^{2015}$ :

Since the derivative of $f(x)$ is $2015\cdot x^{2014}$ , then its value at $x=2$ is exactly $2015\cdot 2^{2014}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.6절 · 18번우리말 번역

두 곡선 $y=x^2$ 과 $y=-x^2+2x-5$ 에 모두 접하는 직선을 모두 구하세요. 답을 그래프로 그려 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

직선 $y=mx+b$ 가 $x=\alpha$ 에서 $y=x^2$ 에 접할 조건은 $2\alpha=m\text{ 그리고 }\alpha^2=m\alpha+b \iff m=2\alpha\text{ 그리고 }b=-\alpha^2$ 이다. 같은 직선 $y=mx+b$ 가 $x=\beta$ 에서 $y=-x^2+2x-5$ 에 접할 조건은

$\begin{aligned} -2\beta+2=m&\text{ 그리고 }-\beta^2+2\beta-5=m\beta+b\\ \iff m=2-2\beta&\text{ 그리고 }b=-\beta^2+2\beta-5-(2-2\beta)\beta=\beta^2-5 \end{aligned}$

이다. 직선이 두 포물선에 동시에 접하려면 $m=2\alpha=2-2\beta\text{ 그리고 }b=-\alpha^2=\beta^2-5$ 이어야 한다. $\alpha=1-\beta$ 를 $-\alpha^2=\beta^2-5$ 에 대입하면 $-(1-\beta)^2=\beta^2-5$ , 즉 $2\beta^2-2\beta-4=0$ 이므로 $\beta=-1,2$ 이다. 이에 대응하는 나머지 값은 $\alpha=2,-1$ , $m=4,-2$ , $b=-4,-1$ 이다. 따라서 두 직선은 $y=4x-4$ 와 $y=-2x-1$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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