지수함수와 로그함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.7절 · 3번

CLP-1 · 2.7절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=xe^{x-1}$

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True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=xe^{x-1}$

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거듭제곱 법칙에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^n\}=nx^{n-1}$ 이다. 이 등식에서는 변수가 밑이고 지수가 상수이다. 함수 $e^x$ 에서는 이와 반대로 변수가 지수이고 밑이 상수이다. 따라서 거듭제곱 법칙은 적용되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The power rule tells us that $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^n\}=nx^{n-1}$ . In this equation, the variable is the base, and the exponent is a constant. In the function $e^x$ , it's reversed: the variable is the exponent, and the base it a constant. So, the power rule does not apply.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.7절 · 2번우리말 번역

아래 그래프는 지수함수 $f(x)=a^x$ 와 그 도함수 $f'(x)$ 를 나타낸 것입니다. 상수 $a$ 를 설명하는 보기를 모두 고르세요. $(a)~a<0\qquad(b)~a>0\qquad\qquad(c)~a<1\qquad(d)~a>1\qquad\qquad(e)~a<e\qquad(f)~a>e$

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $a$ 가 1보다 큰지 작은지에 따라 지수함수 $a^x$ 가 어떻게 변하는지 살펴보자. 알다시피 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll} \infty & a>1\\0&a<1 \end{array}\right.$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll} 0 & a>1\\\infty&a<1 \end{array}\right.$ 이다. 주어진 함수는 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$ 이므로 $a>1$ 이다. 따라서 $(d)$ 가 성립하고 $(b)$ 도 성립한다. ( $a^x$ 가 모든 실수에서 정의되므로 $(b)$ 가 성립함을 알 수도 있다.)

이제 $a$ 가 $e$ 보다 큰지 작은지 판단해야 한다. ( $a$ 가 $e$ 와 같다면 $f'(x)$ 는 $f(x)$ 와 같을 것이다.) 본문에서 함수 $C(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h-1}{h}$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{a^x\}=C(a)a^x$ 임을 보았다. $C(e)=1$ 임을 안다. (사실 $e$ 는 이 성질을 갖는 수로 정한 것이다.) 그래프에서 $f'(x)<f(x)$ 임을 알 수 있으므로 $C(a)<1=C(e)$ 이다. 즉 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h-1}{h}<\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{e^h-1}{h}$ 이므로 $a<e$ 이다. 따라서 $(e)$ 가 성립한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수함수와 로그함수의 미분개념 확인기본자동 분류