삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 2번

CLP-1 · 2.8절 · 2번우리말 번역

같은 좌표축에 $x=-2\pi$ 부터 $x=2\pi$ 까지 사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 그리세요. $\sin x$ 의 접선의 기울기가 최대(양수)인 점들을 표시하세요. 이 점들은 코사인 함수의 그래프에서 무엇에 해당하나요?

영어 원문 보기

Graph sine and cosine on the same axes, from $x=-2\pi$ to $x=2\pi$ . Mark the points where $\sin x$ has a tangent line of maximum (positive) slope. What do these points correspond to, on the graph of cosine?

정답·풀이 보기

함수 $f(x)=\sin x$ 의 그래프는 $\cos x$ 가 최댓값을 갖는 점에서 기울기가 최대이다. $f'(x)=\cos x$ 이므로 이는 타당하다. 사인 함수의 기울기의 최댓값은 코사인 함수의 최댓값에 대응한다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph $f(x)=\sin x$ has maximum slope at those points where $\cos x$ has a maximum. This makes sense, because $f'(x)=\cos x$ : the maximum values of the slope of sine correspond to the maximum values of cosine.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 18번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to \pi}\left(\dfrac{\sin(x)}{x-\pi}\right)$ 의 값을 구하세요.

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이 극한은 함수 $f(x)=\sin(x)$ 의 $x=\pi$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이는 $f(x)=\sin x$ 일 때 $a=\pi$ 에서의 미분계수의 정의를 이용하면 알 수 있다:

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin x\}\right|_{\pi} &=\lim_{x\to\pi} \frac{\sin(x)-\sin(\pi)}{x-\pi}\\ &=\lim_{x\to\pi} \frac{\sin(x)}{x-\pi} \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수가 $\cos(x)$ 이므로, $x=\pi$ 에서의 값은 정확히

$\cos(\pi)=-1$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석기본자동 분류