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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.8절 · 13번우리말 번역

s(θ)=cos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θs(\theta)=\dfrac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin\theta} 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate s(θ)=cos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θs(\theta)=\dfrac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin\theta}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

몫의 미분법을 적용한다.

s′(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θ)(−sin⁡θ+cos⁡θ)−(cos⁡θ+sin⁡θ)(−sin⁡θ−cos⁡θ)(cos⁡θ−sin⁡θ)2=(cos⁡θ−sin⁡θ)2+(cos⁡θ+sin⁡θ)2(cos⁡θ−sin⁡θ)2=1+(cos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ)2\begin{aligned} s'(\theta)&=\frac{(\cos \theta-\sin\theta)(-\sin\theta+\cos\theta)-(\cos\theta+\sin\theta)(-\sin\theta-\cos\theta)}{(\cos\theta-\sin\theta)^2}\\ &=\frac{(\cos \theta-\sin\theta)^2+(\cos\theta+\sin\theta)^2}{(\cos\theta-\sin\theta)^2}\\ &=1+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\right)^2 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We apply the quotient rule.

s′(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θ)(−sin⁡θ+cos⁡θ)−(cos⁡θ+sin⁡θ)(−sin⁡θ−cos⁡θ)(cos⁡θ−sin⁡θ)2=(cos⁡θ−sin⁡θ)2+(cos⁡θ+sin⁡θ)2(cos⁡θ−sin⁡θ)2=1+(cos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ)2\begin{aligned} s'(\theta)&=\frac{(\cos \theta-\sin\theta)(-\sin\theta+\cos\theta)-(\cos\theta+\sin\theta)(-\sin\theta-\cos\theta)}{(\cos\theta-\sin\theta)^2}\\ &=\frac{(\cos \theta-\sin\theta)^2+(\cos\theta+\sin\theta)^2}{(\cos\theta-\sin\theta)^2}\\ &=1+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\right)^2 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 8번우리말 번역

f(x)=2sin⁡x+3tan⁡xcos⁡x+tan⁡xf(x) = \dfrac{2\sin x + 3 \tan x}{\cos x + \tan x} 를 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

몫의 미분법을 사용한다.

f′(x)=(cos⁡x+tan⁡x)(2cos⁡x+3sec⁡2x)−(2sin⁡x+3tan⁡x)(−sin⁡x+sec⁡2x)(cos⁡x+tan⁡x)2=2cos⁡2x+3cos⁡xsec⁡2x+2cos⁡xtan⁡x+3tan⁡xsec⁡2x(cos⁡x+tan⁡x)2    +2sin⁡2x−2sin⁡xsec⁡2x+3sin⁡xtan⁡x−3tan⁡xsec⁡2x(cos⁡x+tan⁡x)2=2+3sec⁡x+2sin⁡x−2tan⁡xsec⁡x+3sin⁡xtan⁡x(cos⁡x+tan⁡x)2\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{(\cos x + \tan x)(2\cos x + 3 \sec^2 x)-(2\sin x+3\tan x)(-\sin x + \sec^2 x)}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &=\frac{2\cos^2x+3\cos x \sec^2 x + 2 \cos x \tan x + 3 \tan x \sec^2 x}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &~~~~ +\frac{2\sin^2x-2\sin x \sec^2x+3\sin x \tan x -3\tan x \sec^2 x}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &=\frac{2+3 \sec x + 2 \sin x -2\tan x \sec x+3\sin x \tan x }{(\cos x + \tan x)^2} \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

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