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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

삼각함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.8절 · 20번우리말 번역

함수 f(x)={ax+bx<0 일 때6cos⁡x2+sin⁡x+cos⁡xx≥0 일 때f(x)=\left\{\begin{array}{ll} ax+b& x<0\text{ 일 때}\\ \frac{6\cos x}{2+\sin x+\cos x}& x\ge 0\text{ 일 때} \end{array}\right. 의 도함수가 모든 xx 에 대해 존재한다. 상수 aa 와 bb 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The derivative of the function f(x)={ax+bfor x<06cos⁡x2+sin⁡x+cos⁡xfor x≥0f(x)=\left\{\begin{array}{ll} ax+b& \text{for }x<0\\ \frac{6\cos x}{2+\sin x+\cos x}& \text{for }x\ge 0 \end{array}\right. exists for all xx. Determine the values of the constants aa and bb.

정답·풀이 보기

함수 f(x)f(x) 가 x=0x=0 에서 연속이려면 왼쪽 부분의 식 ax+bax+b 와 오른쪽 부분의 식 6cos⁡x2+sin⁡x+cos⁡x\dfrac{6\cos x}{2+\sin x+\cos x} 가 x=0x=0 에서 서로 같아야 한다. 따라서 a×0+b=6cos⁡02+sin⁡0+cos⁡0=63  ⟹  b=2a\times 0+b=\frac{6\cos 0}{2+\sin 0+\cos 0}=\frac{6}{3} \implies \boxed{b=2}

x=0x=0 에서 미분계수 f′(x)f'(x) 가 존재하려면 극한 lim⁡h→0f(h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} 가 존재해야 한다. 특히 극한 lim⁡h→0−f(h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} 와 lim⁡h→0+f(h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} 가 존재하고 서로 같아야 한다.

h→0−h \to 0^- 일 때 h<0h<0 이므로 f(h)=ah+b=ah+2f(h)=ah+b=ah+2 이다. 따라서 lim⁡h→0−f(h)−f(0)h=lim⁡h→0−(ah+2)−2h=ddx{ax+2}∣x=0=a.\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{(ah+2)-2}{h}=\left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ax+2\right\}\right|_{x=0}=a.

마찬가지로 h→0+h \to 0^+ 일 때 h>0h>0 이므로 f(h)=6cos⁡h1+sin⁡h+cos⁡hf(h)=\dfrac{6\cos h}{1+\sin h + \cos h} 이고 lim⁡h→0+f(h)−f(0)h=ddx{6cos⁡x2+sin⁡x+cos⁡x}∣x=0=−6sin⁡x(2+sin⁡x+cos⁡x)−6cos⁡x(cos⁡x−sin⁡x)(2+sin⁡x+cos⁡x)2∣x=0.\begin{aligned} \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} &= \left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{6\cos x}{2+\sin x + \cos x}\right\}\right|_{x=0} \\&=\left.\frac{-6\sin x(2+\sin x+\cos x)-6\cos x(\cos x-\sin x)}{(2+\sin x+\cos x)^2}\right|_{x=0}.\end{aligned}

왼쪽 극한과 오른쪽 극한이 같아야 하므로 a=−6sin⁡0(2+sin⁡0+cos⁡0)−6cos⁡0(cos⁡0−sin⁡0)(2+sin⁡0+cos⁡0)2=−6(2+1)2  ⟹  a=−23a=\frac{-6\sin 0(2+\sin 0+\cos 0)-6\cos 0(\cos 0-\sin 0)}{(2+\sin 0+\cos 0)^2} =\frac{-6}{(2+1)^2}\implies\boxed{a=-\frac{2}{3}}

원본 교재 풀이(영어)

In order for the function f(x)f(x) to be continuous at x=0x=0, the left half formula ax+bax+b and the right half formula 6cos⁡x2+sin⁡x+cos⁡x\dfrac{6\cos x}{2+\sin x+\cos x} must match up at x=0x=0. This forces a×0+b=6cos⁡02+sin⁡0+cos⁡0=63  ⟹  b=2a\times 0+b=\frac{6\cos 0}{2+\sin 0+\cos 0}=\frac{6}{3} \implies \boxed{b=2}

In order for the derivative f′(x)f'(x) to exist at x=0x=0, the limit lim⁡h→0f(h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} must exist. In particular, the limits lim⁡h→0−f(h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} and lim⁡h→0+f(h)−f(0)h\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} must exist and be equal to each other.

When h→0−h \to 0^-, this means h<0h<0, so f(h)=ah+b=ah+2f(h)=ah+b=ah+2. So: lim⁡h→0−f(h)−f(0)h=lim⁡h→0−(ah+2)−2h=ddx{ax+2}∣x=0=a.\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\displaystyle \lim_{h\to 0^-}\dfrac{(ah+2)-2}{h}=\left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ax+2\right\}\right|_{x=0}=a.

Similarly, when h→0+h \to 0^+, then h>0h>0, so f(h)=6cos⁡h1+sin⁡h+cos⁡hf(h)=\dfrac{6\cos h}{1+\sin h + \cos h} and lim⁡h→0+f(h)−f(0)h=ddx{6cos⁡x2+sin⁡x+cos⁡x}∣x=0=−6sin⁡x(2+sin⁡x+cos⁡x)−6cos⁡x(cos⁡x−sin⁡x)(2+sin⁡x+cos⁡x)2∣x=0.\begin{aligned} \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{f(h)-f(0)}{h} &= \left.\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{6\cos x}{2+\sin x + \cos x}\right\}\right|_{x=0} \\&=\left.\frac{-6\sin x(2+\sin x+\cos x)-6\cos x(\cos x-\sin x)}{(2+\sin x+\cos x)^2}\right|_{x=0}.\end{aligned}

Since the limits from the left and right must be equal, this forces a=−6sin⁡0(2+sin⁡0+cos⁡0)−6cos⁡0(cos⁡0−sin⁡0)(2+sin⁡0+cos⁡0)2=−6(2+1)2  ⟹  a=−23a=\frac{-6\sin 0(2+\sin 0+\cos 0)-6\cos 0(\cos 0-\sin 0)}{(2+\sin 0+\cos 0)^2} =\frac{-6}{(2+1)^2}\implies\boxed{a=-\frac{2}{3}}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 21번우리말 번역

f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x 의 도함수가 존재하는 xx 의 값은 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

f′(x)f'(x) 가 존재하려면 f(x)f(x) 가 존재해야 한다. 정수 nn 에 대하여 x=π2+nπx=\frac{\pi}{2}+n\pi 일 때마다 tan⁡x\tan x 가 존재하지 않음은 이미 알고 있다. 조금 더 살펴보면, tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} 이므로 탄젠트가 존재하지 않는 점은 코사인이 0인 점과 정확히 일치한다.

그래프를 보면 탄젠트는 정의역에서 매끄러운 곡선처럼 보이므로, 탄젠트가 정의된 모든 곳에서 그 도함수도 정의된다고 짐작할 수 있다. 이를 확인할 수 있다. f′(x)=sec⁡2x=(1cos⁡x)2f'(x) = \sec^2 x = \left(\frac{1}{\cos x}\right)^2 이다. 실제로 cos⁡x\cos x 가 0이 아닌 곳에서는 f′f' 이 존재한다.

따라서 f′(x)f'(x) 는 어떤 정수 nn 에 대하여 x=π2+nπx=\frac{\pi}{2}+n\pi 인 경우를 제외한 모든 xx 의 값에서 존재한다.

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