삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 21번

CLP-1 · 2.8절 · 21번우리말 번역

$f(x) = \tan x$ 의 도함수가 존재하는 $x$ 의 값은 무엇입니까?

영어 원문 보기

For which values of $x$ does the derivative of $f(x) = \tan x$ exist?

정답·풀이 보기

$f'(x)$ 가 존재하려면 $f(x)$ 가 존재해야 한다. 정수 $n$ 에 대하여 $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ 일 때마다 $\tan x$ 가 존재하지 않음은 이미 알고 있다. 조금 더 살펴보면, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 이므로 탄젠트가 존재하지 않는 점은 코사인이 0인 점과 정확히 일치한다.

그래프를 보면 탄젠트는 정의역에서 매끄러운 곡선처럼 보이므로, 탄젠트가 정의된 모든 곳에서 그 도함수도 정의된다고 짐작할 수 있다. 이를 확인할 수 있다. $f'(x) = \sec^2 x = \left(\frac{1}{\cos x}\right)^2$ 이다. 실제로 $\cos x$ 가 0이 아닌 곳에서는 $f'$ 이 존재한다.

따라서 $f'(x)$ 는 어떤 정수 $n$ 에 대하여 $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ 인 경우를 제외한 모든 $x$ 의 값에서 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

In order for $f'(x)$ to exist, $f(x)$ has to exist. We already know that $\tan x$ does not exist whenever $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ for any integer $n$ . If we look a little deeper, since $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ , the points where tangent does not exist correspond exactly to the points where cosine is zero.

From its graph, tangent looks like a smooth curve over its domain, so we might guess that everywhere tangent is defined, its derivative is defined. We can check this: $f'(x) = \sec^2 x = \left(\frac{1}{\cos x}\right)^2$ . Indeed, wherever $\cos x$ is nonzero, $f'$ exists.

So, $f'(x)$ exists for all values of $x$ except when $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ for some integer $n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 22번우리말 번역

$\dfrac{10\sin(x)}{x^2+x-6}$ 의 도함수가 존재하는 $x$ 의 값은 무엇입니까? 답을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x^2+x-6\ne 0$ 일 때마다 이 함수는 미분가능하다. 그 도함수가

$\begin{aligned} \frac{10\cos(x)\cdot (x^2+x-6)-10\sin(x)\cdot (2x+1)}{(x^2+x-6)^2}, \end{aligned}$

이고, 이는 $x^2+x-6=0$ 이 아닌 한 잘 정의되기 때문이다. $x^2+x-6=(x-2)(x+3)=0$ 을 풀면 $x=2$ 와 $x=-3$ 을 얻는다. 따라서 이 함수는 $x=2$ 와 $x=-3$ 을 제외한 모든 실수 $x$ 에서 미분가능하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산도전자동 분류