삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 22번

CLP-1 · 2.8절 · 22번우리말 번역

$\dfrac{10\sin(x)}{x^2+x-6}$ 의 도함수가 존재하는 $x$ 의 값은 무엇입니까? 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

For what values of $x$ does the derivative of $\dfrac{10\sin(x)}{x^2+x-6}$ exist? Explain your answer.

정답·풀이 보기

$x^2+x-6\ne 0$ 일 때마다 이 함수는 미분가능하다. 그 도함수가

$\begin{aligned} \frac{10\cos(x)\cdot (x^2+x-6)-10\sin(x)\cdot (2x+1)}{(x^2+x-6)^2}, \end{aligned}$

이고, 이는 $x^2+x-6=0$ 이 아닌 한 잘 정의되기 때문이다. $x^2+x-6=(x-2)(x+3)=0$ 을 풀면 $x=2$ 와 $x=-3$ 을 얻는다. 따라서 이 함수는 $x=2$ 와 $x=-3$ 을 제외한 모든 실수 $x$ 에서 미분가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is differentiable whenever $x^2+x-6\ne 0$ since the derivative equals

$\begin{aligned} \frac{10\cos(x)\cdot (x^2+x-6)-10\sin(x)\cdot (2x+1)}{(x^2+x-6)^2}, \end{aligned}$

which is well-defined unless $x^2+x-6=0$ . We solve $x^2+x-6=(x-2)(x+3)=0,$ and get $x=2$ and $x=-3$ . So, the function is differentiable for all real values $x$ except for $x=2$ and for $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 23번우리말 번역

$x$ 의 어떤 값에서 $\dfrac{x^2+6x+5}{\sin(x)}$ 의 도함수가 존재하는지 구하세요. 답을 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

도함수가 다음과 같으므로 $\sin(x)\ne 0$ 일 때마다 이 함수는 미분가능하다.

$\begin{aligned} \frac{\sin(x)\cdot (2x+6) - \cos(x)\cdot (x^2+6x+5)}{(\sin x)^2}, \end{aligned}$

이 식은 $\sin x = 0$ 이 아니면 잘 정의된다. 이는 $x$ 가 $\pi$ 의 정수 배일 때 일어난다. 따라서 이 함수는 $x=n\pi$ 를 제외한 모든 실수 $x$ 에서 미분가능하다. 여기서 $n$ 은 임의의 정수이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산도전자동 분류