삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 23번

CLP-1 · 2.8절 · 23번우리말 번역

$x$ 의 어떤 값에서 $\dfrac{x^2+6x+5}{\sin(x)}$ 의 도함수가 존재하는지 구하세요. 답을 설명하세요.

영어 원문 보기

For what values of $x$ does the derivative of $\dfrac{x^2+6x+5}{\sin(x)}$ exist? Explain your answer.

정답·풀이 보기

도함수가 다음과 같으므로 $\sin(x)\ne 0$ 일 때마다 이 함수는 미분가능하다.

$\begin{aligned} \frac{\sin(x)\cdot (2x+6) - \cos(x)\cdot (x^2+6x+5)}{(\sin x)^2}, \end{aligned}$

이 식은 $\sin x = 0$ 이 아니면 잘 정의된다. 이는 $x$ 가 $\pi$ 의 정수 배일 때 일어난다. 따라서 이 함수는 $x=n\pi$ 를 제외한 모든 실수 $x$ 에서 미분가능하다. 여기서 $n$ 은 임의의 정수이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function is differentiable whenever $\sin(x)\ne 0$ since the derivative equals

$\begin{aligned} \frac{\sin(x)\cdot (2x+6) - \cos(x)\cdot (x^2+6x+5)}{(\sin x)^2}, \end{aligned}$

which is well-defined unless $\sin x = 0$ . This happens when $x$ is an integer multiple of $\pi$ . So, the function is differentiable for all real values $x$ except $x=n\pi,$ , where $n$ is any integer.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.5절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 각 함수에 대해, 지시된 $x$ 의 값에서의 접선의 방정식을 구하세요. 그런 다음 계산기를 사용하여 함수와 접선을 함께 그래프로 그려서 접선의 방정식이 맞는지 확인하세요.

[계산기 사용] $f(x)=1+\cos x,x=\frac{3\pi }{2}$

다 풀었으면 정답 확인

$y=x+\frac{2-3\pi }{2}$

그래프에는 코사인 함수를 위로 1만큼 평행이동한 그래프와, 기울기가 1이고 y절편이 (2 – 3π)/2인 직선 T(x)가 나타나 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산도전자동 분류