삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 26번

CLP-1 · 2.8절 · 26번우리말 번역

함수 $f(x)=e^x\sin x$ 가 수평인 접선을 갖는 $x$ 의 값은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

For which values of $x$ does the function $f(x)=e^x\sin x$ have a horizontal tangent line?

정답·풀이 보기

$f'(x)=0$ 을 풀어야 한다. 즉, $e^x[\sin x + \cos x]=0$ 이다. $e^x$ 는 항상 양수이므로 $\sin x + \cos x =0$ 인 모든 점을 찾아야 한다. 즉, $\sin x = - \cos x$ 인 $x$ 의 값을 모두 찾아야 한다. 단위원을 살펴보면 임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3\pi}{4}+n\pi$ 일 때마다 이것이 성립함을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We are asked to solve $f'(x)=0$ . That is, $e^x[\sin x + \cos x]=0$ . Since $e^x$ is always positive, that means we need to find all points where $\sin x + \cos x =0$ . That is, we need to find all values of $x$ where $\sin x = - \cos x$ . Looking at the unit circle, we see this happens whenever $x = \frac{3\pi}{4}+n\pi$ for any integer $n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 30번우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} =1$ 임을 떠올리자. 이를 이용하기 위해 분자와 분모를 $x^5$ 으로 나눈다(분모에서 사인의 거듭제곱이 $5$ 이고, 분모가 0으로 가면 대체로 극한을 구하기 더 어렵기 때문이다).

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x} &=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\sin x^{27}}{x^{5}}+2 e^{x^{99}}} {\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^5} \end{aligned}$

이제 분모는 1로 가므로 다루기 쉽지만, 분자에 있는 분수 $\dfrac{\sin x^{27}}{x^5}$ 을 처리해야 한다. 이 분수는 그다지 익숙하지 않지만, $x$ 가 0으로 가면 $x^{27}$ 도 0으로 가므로 $\dfrac{\sin x^{27}}{x^{27}}$ 은 $1$ 로 간다는 것을 안다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x} &=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^{22}\dfrac{\sin x^{27}}{x^{27}}+2 e^{x^{99}}} {\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^5} =\dfrac{0\times 1+2\times e^0}{1^5} =2 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산도전자동 분류