삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 30번

CLP-1 · 2.8절 · 30번우리말 번역

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x}$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x}$ .

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$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} =1$ 임을 떠올리자. 이를 이용하기 위해 분자와 분모를 $x^5$ 으로 나눈다(분모에서 사인의 거듭제곱이 $5$ 이고, 분모가 0으로 가면 대체로 극한을 구하기 더 어렵기 때문이다).

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x} &=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{\sin x^{27}}{x^{5}}+2 e^{x^{99}}} {\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^5} \end{aligned}$

이제 분모는 1로 가므로 다루기 쉽지만, 분자에 있는 분수 $\dfrac{\sin x^{27}}{x^5}$ 을 처리해야 한다. 이 분수는 그다지 익숙하지 않지만, $x$ 가 0으로 가면 $x^{27}$ 도 0으로 가므로 $\dfrac{\sin x^{27}}{x^{27}}$ 은 $1$ 로 간다는 것을 안다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x} &=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{x^{22}\dfrac{\sin x^{27}}{x^{27}}+2 e^{x^{99}}} {\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^5} =\dfrac{0\times 1+2\times e^0}{1^5} =2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Recall that $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} =1$ . In order to take advantage of this knowledge, we divide the numerator and denominator by $x^5$ (because $5$ is the power of sine in the denominator, and a denominator that goes to zero generally makes a limit harder).

Now the denominator goes to 1, which is nice, but we need to take care of the fraction $\dfrac{\sin x^{27}}{x^5}$ in the numerator. This fraction isn't very familiar, but we know that, as $x$ goes to zero, $x^{27}$ also goes to zero, so that $\dfrac{\sin x^{27}}{x^{27}}$ goes to $1$ . Consequently,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 6번우리말 번역

$f(x)=2\sin x \cos x$ 를 미분하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$2\sin x \cos x = \sin (2x)$ 인 것은 사실이지만, 우리는 $\sin(2x)$ 의 도함수를 알지 못한다. 따라서 곱의 미분법을 이용한다: $f'(x)=2\cos x \cos x+2\sin x (-\sin x)=2(\cos^2 x - \sin ^2 x).$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분계산자동 분류