합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 2번

CLP-1 · 2.9절 · 2번우리말 번역

$A,~B,~C,~D,~$ 와 $E$ 가 서로 연관된 계를 나타내는 함수이고, 그 부호가 다음과 같다고 하자: $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}>0$ , $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}C}>0$ , $\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}D}<0$ , $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}E}>0$ . $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}E}$ 는 양수인지 음수인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose $A,~B,~C,~D,~$ and $E$ are functions describing an interrelated system, with the following signs: $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}>0$ , $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}C}>0$ , $\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}D}<0$ , and $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}E}>0$ . Is $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}E}$ positive or negative?

정답·풀이 보기

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}E}=\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}\cdot\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}C}\cdot\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}D}\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}E}<0$ 양수 세 개와 음수 한 개를 곱하기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}E}=\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}\cdot\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}C}\cdot\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}D}\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}E}<0$ since we multiply three positive quantities and one negative.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 15번우리말 번역

곡선 $y=\left(\tan^2 x +1\right)\left(\cos^2 x\right)$ 의 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 인 점에서의 접선을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

곱의 미분법과 연쇄 법칙을 차례로 써서 이 문제를 풀기 시작할 수도 있지만, 먼저 식을 간단히 하면 더 쉽다. $\tan^2x+1=\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2x}$ 이므로 $\cos x$ 가 0이 아닌 모든 $x$ 의 값에 대해 $f(x)=\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=1$ 임을 알 수 있다. 즉, $\pi/2$ 의 정수배가 아닌 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=1$ 이다(그리고 $x$ 가 $\pi/2$ 의 정수배일 때 $f(x)$ 는 정의되지 않는다). 따라서 $f$ 가 존재하는 모든 $x$ 에서 $f'(x)=0$ 이고, 특히 $f'(\pi/4)=0$ 이다. 또한 $f(\pi/4)=1$ 이므로 $x=\pi/4$ 에서 $f$ 의 접선은 기울기가 0이고 점 $(\pi/4,1)$ 을 지나는 직선이다: $y=1$

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산기본자동 분류