합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 15번

CLP-1 · 2.9절 · 15번우리말 번역

곡선 $y=\left(\tan^2 x +1\right)\left(\cos^2 x\right)$ 의 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 인 점에서의 접선을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the tangent line to the curve $y=\left(\tan^2 x +1\right)\left(\cos^2 x\right)$ at the point $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

곱의 미분법과 연쇄 법칙을 차례로 써서 이 문제를 풀기 시작할 수도 있지만, 먼저 식을 간단히 하면 더 쉽다. $\tan^2x+1=\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2x}$ 이므로 $\cos x$ 가 0이 아닌 모든 $x$ 의 값에 대해 $f(x)=\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=1$ 임을 알 수 있다. 즉, $\pi/2$ 의 정수배가 아닌 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=1$ 이다(그리고 $x$ 가 $\pi/2$ 의 정수배일 때 $f(x)$ 는 정의되지 않는다). 따라서 $f$ 가 존재하는 모든 $x$ 에서 $f'(x)=0$ 이고, 특히 $f'(\pi/4)=0$ 이다. 또한 $f(\pi/4)=1$ 이므로 $x=\pi/4$ 에서 $f$ 의 접선은 기울기가 0이고 점 $(\pi/4,1)$ 을 지나는 직선이다: $y=1$

원본 교재 풀이(영어)

It is possible to start in on this problem with the product rule and then the chain rule, but it's easier if we simplify first. Since $\tan^2x+1=\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2x}$ , we see $f(x)=\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=1$ for all values of $x$ for which $\cos x$ is nonzero. That is, $f(x)=1$ for every $x$ that is not an integer multiple of $\pi/2$ (and $f(x)$ is not defined when $x$ is an integer multiple of $\pi/2$ ). Therefore, $f'(x)=0$ for every $x$ on which $f$ exists, and in particular $f'(\pi/4)=0$ . Also, $f(\pi/4)=1$ , so the tangent line to $f$ at $x=\pi/4$ is the line with slope 0, passing through the point $(\pi/4,1)$ : $y=1$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 16번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ 로 주어진다. 입자의 속도가 0이 되는 $t$ 의 값을 모두 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 것이다. 따라서 입자의 속도는 $s'(t)$ 로 주어진다. $s'(t)$ 를 구한 다음 이것이 0이 되는 때를 찾아야 한다.

미분하기 위해 연쇄 법칙을 쓴다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{이 함수가 0이 되는 곳을 알아보기 위해 인수분해한다:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

따라서 속도가 0이 되는 경우는 $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ 일 때, $3t-2=0$ 일 때, 그리고 $t-4=0$ 일 때이다. $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ 은 절대로 0이 되지 않으므로, 속도가 0이 되는 것은 정확히 $t=\frac{2}{3}$ 또는 $t=4$ 일 때이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류