합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 8번

CLP-1 · 2.9절 · 8번우리말 번역

$f(x) = g\big(x/h(x)\big)$ , $h(2) = 2$ , $h'(2) = 3$ , $g'(1) = 4$ 일 때, $f'(2)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $f'(2)$ if $f(x) = g\big(x/h(x)\big)$ , $h(2) = 2$ , $h'(2) = 3$ , $g'(1) = 4$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 쓰고, 이어서 몫의 미분법을 쓴다:

$\begin{aligned} f'(x) &=g'\left( \frac{x}{h(x)}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{x}{h(x)} \right\} \\&= g'\left(\frac{x}{h(x)}\right)\cdot\frac{h(x)-xh'(x)}{h(x)^2} \\ \text{$x=2$일 때:} \\ f'(2) &= g'\left(\frac{2}{h(2)}\right)\frac{h(2)-2h'(2)}{h(2)^2}\\ &= 4\frac{2-2\times3}{2^2} =-4 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the chain rule, followed by the quotient rule:

$\begin{aligned} f'(x) &=g'\left( \frac{x}{h(x)}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{x}{h(x)} \right\} \\&= g'\left(\frac{x}{h(x)}\right)\cdot\frac{h(x)-xh'(x)}{h(x)^2} \\ \text{When $x=2$:} \\ f'(2) &= g'\left(\frac{2}{h(2)}\right)\frac{h(2)-2h'(2)}{h(2)^2}\\ &= 4\frac{2-2\times3}{2^2} =-4 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.6절 · 14번우리말 번역

다음 각 연습문제에 대하여

a. 각 함수를 $y=f(u)$ 와 $u=g(x)$ 의 꼴로 분해하고, b. $\frac{dy}{dx}$ 를 $x$ 의 함수로 구하세요.

$y=-6{(\sin x)}^{-3}$

다 풀었으면 정답 확인

a. $f(u)=-6{u}^{-3},u=\sin x,$ b. $18{(\sin )}^{-4}x\cdot \cos x$

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류