합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 11번

CLP-1 · 2.9절 · 11번우리말 번역

$f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}$ 일 때 $f'(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $f'(x)$ if $f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 이용한 뒤 몫의 미분법을 이용하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}\right\}&=\frac{1}{2\sqrt{ \dfrac{x-1}{x+2}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \dfrac{x-1}{x+2}\right\} \\&=\frac{\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x-1}}\cdot \frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2}\\ &=\frac{3}{2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}^3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the chain rule, followed by the quotient rule:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 12번우리말 번역

함수 $f(x)=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x^2-1}$ 을 미분하고, 도함수가 존재하는 정의역을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 미분하기 쉽도록 함수를 변형한다.

$\begin{aligned} f(x)&=x^{-2}+(x^2-1)^{1/2} \\ \text{Now, we can use the power rule to differentiate $\dfrac{1}{x^2}$. This will be easier than differentiating $\dfrac{1}{x^2}$ using quotient rule, but if you prefer, quotient rule will also work.} \\ f'(x)&=-2x^{-3}+\frac{1}{2}( x^2-1)^{-1/2}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2-1\}\\ &=-2x^{-3}+\frac{1}{2}({x^2-1})^{-1/2}(2x)\\ &=\frac{-2}{x^3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \end{aligned}$

함수 $f(x)$ 는 $x \neq 0$ 이고 $x^2-1 \geq 0$ 일 때에만 정의된다. 즉, $x$ 가 $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$ 에 속할 때이다. $f'(x)$ 의 정의역에는 $x^2-1$ 이 0이 아니어야 한다는 제한이 추가된다. 따라서 $f'(x)$ 의 정의역은 $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류