빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.9절 · 12번우리말 번역

함수 f(x)=1x2+x2−1f(x)=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x^2-1} 을 미분하고, 도함수가 존재하는 정의역을 구하세요.

영어 원문 보기

Differentiate the function f(x)=1x2+x2−1f(x)=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x^2-1} and give the domain where the derivative exists.

정답·풀이 보기

먼저 미분하기 쉽도록 함수를 변형한다.

f(x)=x−2+(x2−1)1/2Now, we can use the power rule to differentiate 1x2. This will be easier than differentiating 1x2 using quotient rule, but if you prefer, quotient rule will also work.f′(x)=−2x−3+12(x2−1)−1/2⋅ddx{x2−1}=−2x−3+12(x2−1)−1/2(2x)=−2x3+xx2−1\begin{aligned} f(x)&=x^{-2}+(x^2-1)^{1/2} \\ \text{Now, we can use the power rule to differentiate $\dfrac{1}{x^2}$. This will be easier than differentiating $\dfrac{1}{x^2}$ using quotient rule, but if you prefer, quotient rule will also work.} \\ f'(x)&=-2x^{-3}+\frac{1}{2}( x^2-1)^{-1/2}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2-1\}\\ &=-2x^{-3}+\frac{1}{2}({x^2-1})^{-1/2}(2x)\\ &=\frac{-2}{x^3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \end{aligned}

함수 f(x)f(x) 는 x≠0x \neq 0 이고 x2−1≥0x^2-1 \geq 0 일 때에만 정의된다. 즉, xx 가 (−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty,-1] \cup [1,\infty) 에 속할 때이다. f′(x)f'(x) 의 정의역에는 x2−1x^2-1 이 0이 아니어야 한다는 제한이 추가된다. 따라서 f′(x)f'(x) 의 정의역은 (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty,-1)\cup(1,\infty) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we manipulate our function to make it easier to differentiate:

f(x)=x−2+(x2−1)1/2Now, we can use the power rule to differentiate 1x2. This will be easier than differentiating 1x2 using quotient rule, but if you prefer, quotient rule will also work.f′(x)=−2x−3+12(x2−1)−1/2⋅ddx{x2−1}=−2x−3+12(x2−1)−1/2(2x)=−2x3+xx2−1\begin{aligned} f(x)&=x^{-2}+(x^2-1)^{1/2} \\ \text{Now, we can use the power rule to differentiate $\dfrac{1}{x^2}$. This will be easier than differentiating $\dfrac{1}{x^2}$ using quotient rule, but if you prefer, quotient rule will also work.} \\ f'(x)&=-2x^{-3}+\frac{1}{2}( x^2-1)^{-1/2}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2-1\}\\ &=-2x^{-3}+\frac{1}{2}({x^2-1})^{-1/2}(2x)\\ &=\frac{-2}{x^3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \end{aligned}

The function f(x)f(x) is only defined when x≠0x \neq 0 and when x2−1≥0x^2-1 \geq 0. That is, when xx is in (−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty,-1] \cup [1,\infty). We have an added restriction on the domain of f′(x)f'(x): x2−1x^2-1 must not be zero. So, the domain of f′(x)f'(x) is (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 13번우리말 번역

f(x)=sin⁡5x1+x2f(x)=\dfrac{\sin 5x}{1+x^2} 의 도함수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

ddx{sin⁡5x}=5cos⁡5x\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin 5x\}=5\cos 5x 임에 주의하여 몫의 미분법을 이용한다.

f′(x)=(1+x2)(5cos⁡5x)−(sin⁡5x)(2x)(1+x2)2\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(1+x^2)(5\cos 5x)-(\sin 5x)(2x)}{{(1+x^2)}^2} \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류

「합성함수의 미분법」 문제 목록으로