합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 14번

CLP-1 · 2.9절 · 14번우리말 번역

$f(x)=\sec(e^{2x+7})$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the derivative of $f(x)=\sec(e^{2x+7})$ .

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$g(x)=\sec x$ , $h(x)=e^{2x+7}$ 이라 하면 $f(x)=g(h(x))$ 이므로 연쇄 법칙에 의해 $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ 이다. $g'(x)=\sec x \tan x$ 이므로:

$\begin{aligned} f'(x)&=g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &=\sec(h(x))\tan(h(x)) \cdot h'(x)\\ &=\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{2x+7}\right\} \\ \text{여기서 연쇄 법칙을 다시 써야 한다:} \\ &=\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \cdot \left[e^{ 2x+7}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 2x+7\}\right]\\ &=\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \cdot \left[e^{2x+7}\cdot2\right]\\ &=2e^{2x+7}\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

If we let $g(x)=\sec x$ and $h(x)=e^{2x+7}$ , then $f(x)=g(h(x))$ , so by the chain rule, $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ . Since $g'(x)=\sec x \tan x$ :

$\begin{aligned} f'(x)&=g'(h(x))\cdot h'(x)\\ &=\sec(h(x))\tan(h(x)) \cdot h'(x)\\ &=\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{2x+7}\right\} \\ \text{Here, we need the chain rule again:} \\ &=\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \cdot \left[e^{ 2x+7}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 2x+7\}\right]\\ &=\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \cdot \left[e^{2x+7}\cdot2\right]\\ &=2e^{2x+7}\sec(e^{2x+7})\tan(e^{2x+7}) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 2번우리말 번역

$A,~B,~C,~D,~$ 와 $E$ 가 서로 연관된 계를 나타내는 함수이고, 그 부호가 다음과 같다고 하자: $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}>0$ , $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}C}>0$ , $\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}D}<0$ , $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}E}>0$ . $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}E}$ 는 양수인지 음수인지 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}E}=\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}\cdot\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}C}\cdot\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}D}\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}E}<0$ 양수 세 개와 음수 한 개를 곱하기 때문이다.

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