합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 16번

CLP-1 · 2.9절 · 16번우리말 번역

시각 $t$ 에서 입자의 위치가 $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ 로 주어진다. 입자의 속도가 0이 되는 $t$ 의 값을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time $t$ is given by $s(t)=e^{t^3-7t^2+8t}$ . For which values of $t$ is the velocity of the particle zero?

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속도는 위치를 시간에 대해 미분한 것이다. 따라서 입자의 속도는 $s'(t)$ 로 주어진다. $s'(t)$ 를 구한 다음 이것이 0이 되는 때를 찾아야 한다.

미분하기 위해 연쇄 법칙을 쓴다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{이 함수가 0이 되는 곳을 알아보기 위해 인수분해한다:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

따라서 속도가 0이 되는 경우는 $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ 일 때, $3t-2=0$ 일 때, 그리고 $t-4=0$ 일 때이다. $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ 은 절대로 0이 되지 않으므로, 속도가 0이 되는 것은 정확히 $t=\frac{2}{3}$ 또는 $t=4$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Velocity is the derivative of position with respect to time. So, the velocity of the particle is given by $s'(t)$ . We need to find $s'(t)$ , and determine when it is zero.

To differentiate, we us the chain rule.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^{ t^3-7t^2+8t}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{ t^3-7t^2+8t\}\\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t^2-14t+8) \\ \text{To determine where this function is zero, we factor:} \\ &=e^{{t^3-7t^2+8t}}\cdot(3t-2)(t-4) \end{aligned}$

So, the velocity is zero when $e^{{t^3-7t^2+8t}}=0$ , when $3t-2=0$ , and when $t-4=0$ . Since $e^{{t^3-7t^2+8t}}$ is never zero, this tells us that the velocity is zero precisely when $t=\frac{2}{3}$ or $t=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 17번우리말 번역

곡선 $y=\tan\left(e^{x^2}\right)$ 위의 점 $x=1$ 에서의 접선의 기울기는 얼마인가요?

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접선의 기울기는 미분계수이다. $f(x)=\tan x$ , $g(x)=e^{x^2}$ 이라 하면 $f(g(x))=\tan(e^{x^2})$ 이므로 $y'=f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 이다:

$\begin{aligned} y'&=\sec^2( e^{x^2})\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ e^{x^2}\} \\ \text{여기서 다시 한 번 연쇄 법칙이 필요하다:} \\ &=\sec^2({e^{x^2}})\cdot{e^{ x^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=\sec^2(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x \\ \text{마지막으로, 점 $x=1$ 에서 이 도함수의 값을 구한다:} \\ y'(1)&=\sec^2(e)\cdot e \cdot 2\\ &=2e\sec^2e \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법활용보통자동 분류