합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 17번

CLP-1 · 2.9절 · 17번우리말 번역

곡선 $y=\tan\left(e^{x^2}\right)$ 위의 점 $x=1$ 에서의 접선의 기울기는 얼마인가요?

영어 원문 보기

What is the slope of the tangent line to the curve $y=\tan\left(e^{x^2}\right)$ at the point $x=1$ ?

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접선의 기울기는 미분계수이다. $f(x)=\tan x$ , $g(x)=e^{x^2}$ 이라 하면 $f(g(x))=\tan(e^{x^2})$ 이므로 $y'=f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 이다:

$\begin{aligned} y'&=\sec^2( e^{x^2})\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ e^{x^2}\} \\ \text{여기서 다시 한 번 연쇄 법칙이 필요하다:} \\ &=\sec^2({e^{x^2}})\cdot{e^{ x^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=\sec^2(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x \\ \text{마지막으로, 점 $x=1$ 에서 이 도함수의 값을 구한다:} \\ y'(1)&=\sec^2(e)\cdot e \cdot 2\\ &=2e\sec^2e \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The slope of the tangent line is the derivative. If we let $f(x)=\tan x$ and $g(x)=e^{x^2}$ , then $f(g(x))=\tan(e^{x^2})$ , so $y'=f'(g(x)) \cdot g'(x)$ :

$\begin{aligned} y'&=\sec^2( e^{x^2})\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ e^{x^2}\} \\ \text{We find ourselves once more in need of the chain rule:} \\ &=\sec^2({e^{x^2}})\cdot{e^{ x^2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=\sec^2(e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x \\ \text{Finally, we evaluate this derivative at the point $x=1$:} \\ y'(1)&=\sec^2(e)\cdot e \cdot 2\\ &=2e\sec^2e \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 7번우리말 번역

$f(x)=e^{\cos(x^2)}$ 의 도함수를 구하세요.

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$g(x)=e^x$ , $h(x)=\cos(x^2)$ 이라 하면 $f(x)=g(h(x))$ 이므로 $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$ 이다.

$\begin{aligned} f'(x)&=e^{ \cos(x^2)}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(x^2)\} \\ \text{In order to evaluate $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{{\cos(x^2)}\}$, we'll need the chain rule \textit{again}.} \\ &=e^{\cos(x^2)}\cdot [-\sin( x^2)]\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=-e^{\cos(x^2)}\cdot \sin(x^2)\cdot 2x \end{aligned}$

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