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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.9절 · 24번우리말 번역

도함수를 구하세요. y=(1+x2)cos⁡2xy=(1+x^2)\cos^2 x

영어 원문 보기

Evaluate the derivative. y=(1+x2)cos⁡2xy=(1+x^2)\cos^2 x

정답·풀이 보기

y=(1+x2)cos⁡2xUsing the product rule,y′=(2x)cos⁡2x+(1+x2)ddx{cos⁡2x}Here, we’ll need to use the chain rule. Remember cos⁡2x=[cos⁡x]2.=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅ddx{cos⁡x}=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=2xcos⁡2x−2(1+x2)sin⁡xcos⁡x\begin{aligned} y&=(1+x^2)\cos^2 x \\ \text{Using the product rule,} \\ y'&=(2x)\cos^2 x + (1+x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^2 x\} \\ \text{Here, we'll need to use the chain rule. Remember $\cos^2 x = [\cos x]^2$.} \\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2 \cos x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos x\}\\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2\cos x \cdot (-\sin x)\\ &=2x\cos^2x-2(1+x^2) \sin x\cos x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

y=(1+x2)cos⁡2xUsing the product rule,y′=(2x)cos⁡2x+(1+x2)ddx{cos⁡2x}Here, we’ll need to use the chain rule. Remember cos⁡2x=[cos⁡x]2.=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅ddx{cos⁡x}=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=2xcos⁡2x−2(1+x2)sin⁡xcos⁡x\begin{aligned} y&=(1+x^2)\cos^2 x \\ \text{Using the product rule,} \\ y'&=(2x)\cos^2 x + (1+x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^2 x\} \\ \text{Here, we'll need to use the chain rule. Remember $\cos^2 x = [\cos x]^2$.} \\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2 \cos x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos x\}\\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2\cos x \cdot (-\sin x)\\ &=2x\cos^2x-2(1+x^2) \sin x\cos x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.6절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 y=f(u)y=f(u) 와 u=g(x)u=g(x) 가 주어졌을 때, 연쇄 법칙의 라이프니츠 표기법 dydx=dydu dudx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} 를 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

y=4u+3,u=x2−6xy=\sqrt{4u+3},u={x}^{2}-6x

다 풀었으면 정답 확인

8x−2424u+3=4x−124x2−24x+3\frac{8x-24}{2\sqrt{4u+3}}=\frac{4x-12}{\sqrt{4{x}^{2}-24x+3}}

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