합성함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.6절 · 6번

OpenStax 1권 · 3.6절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 $y=f(u)$ 와 $u=g(x)$ 가 주어졌을 때, 연쇄 법칙의 라이프니츠 표기법 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}$ 를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y=\sqrt{4u+3},u={x}^{2}-6x$

영어 원문 보기

For the following exercises, given $y=f(u)$ and $u=g(x),$ find $\frac{dy}{dx}$ by using Leibniz’s notation for the chain rule: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.$

$y=\sqrt{4u+3},u={x}^{2}-6x$

정답·풀이 보기

$\frac{8x-24}{2\sqrt{4u+3}}=\frac{4x-12}{\sqrt{4{x}^{2}-24x+3}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{8x-24}{2\sqrt{4u+3}}=\frac{4x-12}{\sqrt{4{x}^{2}-24x+3}}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 27번우리말 번역

곡선 $y=xe^{-(x^2-1)/2}$ 가 수평한 접선을 갖는 점 $(x,y)$ 는 어디입니까?

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$f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2}$ 이라 하자. 곱의 미분법을 쓰면

$\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{여기서 연쇄 법칙이 필요하다:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}$

$e$ 의 거듭제곱은 0이 될 수 없으므로, 위의 곱이 0이면 $1-x^2=0$ 이어야 한다. 이는 $x=\pm 1$ 일 때 성립한다. 곡선 위에서 $x=1$ 일 때 $y=1$ 이고, $x=-1$ 일 때 $y=-1$ 이다. 따라서 구하는 점은 $(1,1)$ 과 $(-1,-1)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산자동 분류