합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 27번

CLP-1 · 2.9절 · 27번우리말 번역

곡선 $y=xe^{-(x^2-1)/2}$ 가 수평한 접선을 갖는 점 $(x,y)$ 는 어디입니까?

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At what points $(x,y)$ does the curve $y=xe^{-(x^2-1)/2}$ have a horizontal tangent?

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$f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2}$ 이라 하자. 곱의 미분법을 쓰면

$\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{여기서 연쇄 법칙이 필요하다:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}$

$e$ 의 거듭제곱은 0이 될 수 없으므로, 위의 곱이 0이면 $1-x^2=0$ 이어야 한다. 이는 $x=\pm 1$ 일 때 성립한다. 곡선 위에서 $x=1$ 일 때 $y=1$ 이고, $x=-1$ 일 때 $y=-1$ 이다. 따라서 구하는 점은 $(1,1)$ 과 $(-1,-1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2}$ . Then, using the product rule,

$\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{Here, we need the chain rule:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}$

There is no power of $e$ that is equal to zero; so if the product above is zero, it must be that $1-x^2=0$ . This happens for $x=\pm 1$ . On the curve, when $x=1$ , $y=1$ , and when $x=-1$ , $y=-1$ . So the points are $(1,1)$ and $(-1,-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 26번우리말 번역

$g(x)=x^3h(x^2)$ 이고 $h(4)=2$ , $h'(4)=-2$ 일 때, $g'(2)$ 를 구하세요.

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연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{h\left(x^2\right)\right\}&=h'(x^2)\cdot 2x \end{aligned}$

곱의 미분법과 위의 결과를 사용하면

$\begin{aligned} g'(x)&=3x^2h(x^2)+x^3h'(x^2)2x \\ \text{$x=2$ 를 대입하면:} \\ g'(2)&=3(2^2)h(2^2)+2^3h'(2^2)2\times 2\\ &=12h(4)+32h'(4)=12\times 2-32\times 2\\ &=-40 \end{aligned}$

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