합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 28번

CLP-1 · 2.9절 · 28번우리말 번역

한 입자가 시각 $t=1$ 에 움직이기 시작하며, 그 이후의 위치는 $s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right)$ 로 주어집니다. 이 입자는 언제 음의 방향으로 움직입니까?

영어 원문 보기

A particle starts moving at time $t=1$ , and its position thereafter is given by $s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right).$ When is the particle moving in the negative direction?

정답·풀이 보기

문제는 $s'(t)$ 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 그래서 먼저 미분한다. 연쇄 법칙을 쓰면

$\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}$

$t\ge1$ 일 때 $\frac{1}{t}$ 은 0과 1 사이에 있다. $0 \leq \theta < \pi/2$ 에서 $\cos \theta$ 는 양수이고 $\pi/2 >1$ 이므로, $\cos\left(\frac{1}{t}\right)$ 은 $s(t)$ 의 정의역 전체에서 양수이다. 또한 $\frac{-1}{t^2}$ 은 이 함수의 정의역 전체에서 음수이다. 따라서 $s'(t)$ 는 $s(t)$ 의 정의역 전체에서 음수이고, 입자는 항상 음의 방향으로 움직인다.

원본 교재 풀이(영어)

The question asks when $s'(t)$ is negative. So, we start by differentiating. Using the chain rule:

$\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}$

When $t\ge1$ , $\frac{1}{t}$ is between 0 and 1. Since $\cos \theta$ is positive for $0 \leq \theta < \pi/2$ , and $\pi/2 >1$ , we see that $\cos\left(\frac{1}{t}\right)$ is positive for the entire domain of $s(t)$ . Also, $\frac{-1}{t^2}$ is negative for the entire domain of the function. We conclude that $s'(t)$ is negative for the entire domain of $s(t)$ , so the particle is always moving in the negative direction.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 33번우리말 번역

$\sin (2x) = 2\sin x \cos x$ 임을 알고 있다. 이로부터 미분을 이용하여 유도할 수 있는 다른 삼각함수 항등식은 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

$\sin 2x$ 와 $2\sin x \cos x$ 는 같은 함수이므로 도함수도 같다.

$\begin{aligned} \sin 2x &= 2\sin x \cos x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin 2x\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sin x \cos x\}\\ 2\cos 2x &=2[\cos^2x-\sin^2x]\\ \cos 2x &=\cos^2x-\sin^2 x \end{aligned}$

따라서 또 다른 흔한 삼각함수 항등식인 $\cos 2x =\cos^2x-\sin^2 x$ 를 얻는다.

참고: 이 등식의 양변을 미분하면 처음의 항등식이 다시 나온다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류