합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 32번

CLP-1 · 2.9절 · 32번우리말 번역

모든 $x>0$ 에 대해 $e^{x+x^2}>1+x$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that, for all $x>0$ , $e^{x+x^2}>1+x$ .

정답·풀이 보기

$f(x)=e^{x+x^2}$ , $g(x)=1+x$ 라 하자. 그러면 $f(0)=g(0)=1$ 이다.

$f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}$ 이고 $g'(x)=1$ 이다. $x>0$ 일 때, $f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}>1\cdot e^{x+x^2}=e^{x+x^2}>e^{0+0^2}=1=g'(x).$ $f(0)=g(0)$ 이고 모든 $x>0$ 에 대해 $f'(x)>g'(x)$ 이므로, $f$ 와 $g$ 는 같은 곳에서 출발하지만 $f$ 가 항상 더 빠르게 증가한다. 따라서 모든 $x>0$ 에 대해 $f(x)>g(x)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)=e^{x+x^2}$ and $g(x)=1+x$ . Then $f(0)=g(0)=1$ .

$f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}$ and $g'(x)=1$ . When $x>0$ , $f'(x)=(1+2x)e^{x+x^2}>1\cdot e^{x+x^2}=e^{x+x^2}>e^{0+0^2}=1=g'(x).$ Since $f(0)=g(0)$ , and $f'(x)>g'(x)$ for all $x>0$ , that means $f$ and $g$ start at the same place, but $f$ always grows faster. Therefore, $f(x)>g(x)$ for all $x>0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 28번우리말 번역

한 입자가 시각 $t=1$ 에 움직이기 시작하며, 그 이후의 위치는 $s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right)$ 로 주어집니다. 이 입자는 언제 음의 방향으로 움직입니까?

다 풀었으면 정답 확인

문제는 $s'(t)$ 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 그래서 먼저 미분한다. 연쇄 법칙을 쓰면

$\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}$

$t\ge1$ 일 때 $\frac{1}{t}$ 은 0과 1 사이에 있다. $0 \leq \theta < \pi/2$ 에서 $\cos \theta$ 는 양수이고 $\pi/2 >1$ 이므로, $\cos\left(\frac{1}{t}\right)$ 은 $s(t)$ 의 정의역 전체에서 양수이다. 또한 $\frac{-1}{t^2}$ 은 이 함수의 정의역 전체에서 음수이다. 따라서 $s'(t)$ 는 $s(t)$ 의 정의역 전체에서 음수이고, 입자는 항상 음의 방향으로 움직인다.

이 문제로 이어서 풀기

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