속도와 가속도 연습문제 — CLP-1 · 3.1절 · 14번

CLP-1 · 3.1절 · 14번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 떨어지는 물체와 관련된 여러 문제를 낸다. 달리 말하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력 가속도는 초당 초당 9.8 미터(9.8 m/s²)이라고 가정한다.

대포알을 초기 속도 $v_0$ 로 공중에 쏘면 중력이 (다른 모든 힘은 무시할 때) 대포알을 다시 아래로 끌어내린다. 대포알이 100m 높이까지 올라갔다면 $v_0$ 은 얼마였는지 구하세요.

영어 원문 보기

For this section, we will ask you a number of questions that have to do with objects falling on Earth. Unless otherwise stated, you should assume that an object falling through the air has an acceleration due to gravity of 9.8 meters per second per second.

You shoot a cannon ball into the air with initial velocity $v_0$ , and then gravity brings it back down (neglecting all other forces). If the cannon ball made it to a height of 100m, what was $v_0$ ?

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m/s

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중력만이 대포알을 끌어내리므로 대포알의 가속도는 상수 $-9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ 이다. 따라서 $v(t)=v_0-9.8t$ 이고, ( $s(0)=0$ 으로 두면) 높이는 $s(t)=v_0t-4.9t^2$ 으로 주어진다.

최고 높이가 100 미터가 되도록 하는 $v_0$ 의 값을 구하려 한다. 최고 높이에 도달하는 때는 $v(t)=0$ 일 때이며, 그 시각은 $t=\frac{v_0}{9.8}$ 이다. 그러므로 다음을 푼다.

$\begin{aligned} 100&=s\left(\frac{v_0}{9.8}\right)\\ 100&=v_0\left(\frac{v_0}{9.8}\right)-4.9\left(\frac{v_0}{9.8}\right)^2\\ 100&=\left(\frac{1}{9.8}-\frac{4.9}{9.8^2}\right)v_0^2\\ 100&=\frac{1}{2\cdot 9.8}v_0^2\\ v_0^2&=1960\\ v_0&=\sqrt{1960}\approx 44~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{aligned}$

대포알이 땅에서 떠오르려면 $v_0$ 이 양수여야 하므로 양의 제곱근을 택한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since gravity alone brings your cannon ball down, its acceleration is a constant $-9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ . So, $v(t)=v_0-9.8t$ and thus its height is given by $s(t)=v_0t-4.9t^2$ (if we set $s(0)=0$ ).

We want to know what value of $v_0$ makes the maximum height 100 metres. The maximum height is reached when $v(t)=0$ , which is at time $t=\frac{v_0}{9.8}$ . So, we solve:

where we choose the positive square root because $v_0$ must be positive for the cannon ball to get off the ground.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.1절 · 7번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 떨어지는 물체와 관련된 여러 문제를 낸다. 달리 언급하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력 가속도는 초당 초당 9.8미터(9.8 m/s²)라고 가정하세요.

당신은 2미터 떨어진 곳에 서 있는 친구에게 열쇠를 던집니다. 열쇠는 처음에 초속 2미터로 친구를 향해 움직이지만, 초당 초당 0.25미터의 비율로 느려집니다. 친구가 열쇠를 받으려고 반응할 수 있는 시간은 얼마인지 구하세요. 즉, 열쇠가 친구에게 닿기까지 날아가는 시간은 얼마인지 구하세요.

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초

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$s(t)$ 를 열쇠가 손을 떠난 뒤 이동한 거리라고 하자. 열쇠가 움직이는 속력 $s'(t)$ 는 초당 0.25미터씩 감소한다. 즉, $s''(t)=-0.25$ 이다. 따라서 어떤 상수 $c$ 에 대해 $s'(t)=-0.25t+c$ 이다. $c=s'(0)=2$ 이므로 $s'(t)=2-0.25t$ 이다. 그러면 $s(t)$ 는 $2-0.25t$ 를 도함수로 가지므로, 어떤 상수 $d$ 에 대해 $s(t)=2t-\frac{1}{8}t^2+d$ 이다. 시각 $t=0$ 에서 열쇠는 아직 어디로도 움직이지 않았으므로 $0=s(0)=d$ 이다. 따라서 $s(t)=2t-\frac{1}{8}t^2$ 이다.

열쇠가 친구에게 닿는 때는 $s(t)=2$ 이고 $t>0$ 일 때이다. 즉:

$\begin{aligned} 2&=2t-\frac{1}{8}t^2\\ 0&=\frac{1}{8}t^2-2t+2\\ t&=8\pm4\sqrt{3} \end{aligned}$

이 $t$ 의 값 중 어느 것이 실제로 열쇠가 친구에게 닿는 시각인지 가려내야 한다. 열쇠는 $t=0$ 부터 친구에게 닿는 시각까지 이렇게 움직인다. (그 뒤에는 $s(t)$ 가 열쇠의 움직임을 나타내지 않는다.) 그러므로 $s(t)=2$ 를 만족하는 양수 $t$ 중 처음 값을 찾아야 한다. $8-4\sqrt{3}>0$ 이므로 이 값이 $s(t)=2$ 이고 $t>0$ 인 첫 번째 시각이다. 따라서 열쇠가 친구에게 닿기까지 걸리는 시간은 $8-4\sqrt{3}\approx 1~\text{초}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 속도와 가속도활용보통자동 분류